矩阵在建模中的应用

摘要：作为了解和认识复杂事物的一种有效工具，矩阵一直以来在各学科领域中均有广泛的推广和应用，特别是在建模中的应用。鉴于此，本文重点对矩阵在建模中的应用情况进行了探讨，希望能为相关领域的研究提供借鉴。

关键词：矩阵 建模 应用

中图分类号：G642 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2012）11-0021-01

作为数学中基本概念的一种，矩阵一直以来都是人们对复杂事物本质进行把握的关键工具之一。在建模过程中，矩阵的应用十分广泛，例如进行层次分析、对投入产出的分析、数学规划过程以及数据拟合等过程均需要借助于矩阵对实际问题进行分析和解决。通常而言，建模过程中所涉及到的矩阵类型包括L矩阵、成对比较矩阵、一致阵、素阵以及随机矩阵等等多种类型。本文主要就矩阵在规划、线性代数、微分方程以及动态趋势预测等模型中的应用情况进行具体分析。

1 矩阵在规划模型中的应用分析

一直以来，规划方面的问题对于经管、科研以及工程技术等多个领域而言总是最为常见的问题之一。例如，设计人员在对材料的尺寸进行选择时，如何在符合强度等多方面条件要求的情况下，确保结构的总重量的最小化。采用建模方法对规划问题进行处理时，虽可能导致结果可行性不足或是实际情况达到最优，但其结合经验及试验数据来对客观规律及数据进行分析，因而还是能够得到较为满意的结果。以下对矩阵在规划模型中的应用情况进行实例说明。

例：n种食物中，每一种含营养m种，在第j种食物中，每单位下第i种营养成分是ij。设一个人每一天对第i种营养的最小需求为bi，而第j种食物单价为cj，则每人如何进行食物选购才能在满足其自身需求的同时花费最低？

解：假设选购食物时第j种食物其数量是xj（j=1，2，…，n）时，则可得到：■■x■≥b■（j=1，2…，m），x■≥0（j=1，2，…，n），minf=■c■x■此时，其矩阵形式如下：Ax≥b，x≥0，minf=cx所得矩阵可采用Matlab数学软件对其进行求解。

2 矩阵在线性代数模型中的应用分析

对于线性代数模型而言，其主要将矩阵及向量作为对象，并将实向量空间作为背景，对较为抽象复杂的问题进行解决的工具之一，作为一种可定性及定量的多准则评价手段，层次分析法可对多种方案在多目标及条件下进行评价，且简便有效。以下对矩阵在层次分析法中的应用进行实例分析。

例：对于大学生而言，其有3种工作选择，C1为国家机关，C2为国有企业，C3则为外资企业。而其考虑最多的因素如下：收入G、发展I及声誉S.以C1、C2、C3对G、I、S 的作用程度情况，及G、I、S对个人的重要程度情况，由此来决定C1、C2、C3三种选择的份额情况。

解：设G、I、S对大学生的重要程度的判断矩阵如下：

A（M）= 1 4 21/4 1 1/21/2 2 1，可求出A（M）权重向量如下：（0.571，0.143，0.286）T。

假设，C1、C2、C3对G、I、S重要程度的判断矩阵是A（G）、A（I）及A（S），得到A（G）、A（I）及A（S）三者的权重向量分别如下（0.333，0.167，0.500）T、（0.631，0.158，0.211）T及（0.588，0.294，0.118）T。

从而可得出C1、C2、C3三者权重分别如下：

C1=0.333×0.571+0.631×0.143+0.588×0.268=0.449

C2=0.167×0.571+0.158×0.143+0.294×0.268=0.202

C3=0.500×0.571+0.211×0.143+0.118×0.268=0.349。

也就是说，大学生对于此三种选择的份额情况如下：国家机关为44.9%，国有企业则为20.2%，而外资企业则为34.9%。

3 矩阵在微分方程模型中的应用分析

在对随时间变化，某对象某特征的变化规律的分析、未来发展情况的预测及其控制措施的研究过程中，构建微分方程模型的过程必不可少，而矩阵在此模型中的应用也较为广泛，以如下实例说明：

例：假设f（t）、i（t）（i=1，2，…，n-1）是纯量函数，而cj（j=1，2，…，n-1）是纯量，则令y=x1，y′=x2，…，y（n-1）=xn则可得到如下一阶方程组：

■=x■，■=x■，…，■=x■，■=-■（t）x■-…-■（t）x■+f（t）

将此一阶方程组进行转变后，所得到的矩阵形式如下所示：■=A（t）X（t）+F（t），X（0）=C。由上述一阶方程组和相应的矩阵形式可知，一阶方程组形式更为复杂，而矩阵形式更为简便，这表明矩阵可以简化所建立模型中的微分方程组形式，使得所建立模型更为简洁易懂。

4 矩阵在动态趋势预测模型中的应用分析

若矩阵形式是方阵，此时线性变换可持续进行，即线性代数中所谓的矩阵方幂问题，其涉及到了矩阵的乘法、对角化及其方程等多方面知识，此问题在生物领域的应用十分重要，以下举例说明。

例：假设农场某一种动物中的雌性的生存年龄最长是N年，则将其生长区间[0，n]进行n个年龄段的等分，第i年龄段是■N，■N，而第i年龄段生育率和存活率分别为i、bi，如果初始时刻此动物种群的年龄分布如下：

X■=（x■■，x■■，…，x■■）■，若取t■=■N，k=1，2…，则t■时刻时此动物种群的年龄分布为：X■=（x■■，x■■，…，x■■）■。表明在时刻t■时，首个年龄段中的雌性动物数量同t■，t■时间段内不同年龄段生育幼仔数量总和相同，则结合矩阵的乘积：X■=AX■，k=1，2，…，n-1，因此，可得到X■=A■X■，k=1，2，…，n-1。

若初始时刻此动物种群不同年龄数量分布情况已知，则可求出tk时刻此动物种群不同年龄段的数量分布情况X（k）。若想对多年后此动物种群的发展趋势进行预测，应考虑当k趋向于无穷大时所得的极限，以对动物数量的变化进行动态科学的预测。

参考文献：

[1]李明. 线性代数中矩阵的应用研究[J].常州工学院学报，2011（03）：59-62.

[2]黄玉梅， 彭涛. 线性代数中矩阵的应用典型案例[J].兰州大学学报，2010（01）：123-125.

[3]王惠文，张瑛.结构方程模型的预测建模方法[J].北京航空航天大学学报，2007，33（4）：477-480.