含参量函数恒成立问题解法例析

纵观近几年的新课标全国卷，几乎都是以函数问题作为最后的压轴题，而函数问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的理解和应用.函数中的恒成立问题往往是融合了函数、导数、不等式等，考查学生解决综合问题的能力.我们在这里对两种常见的含参量的恒成立问题的解决方法进行简单总结.

一、分离参量法

【例1】已知函数f（x）=xlnx，对于任意正实数x，不等式f（x）>kx-12恒成立，求实数k的取值范围.

解析：由于x>0，

所以f（x）=xlnx>kx-12，

k

令k（x）=lnx+12x，

则令k′（x）=1x-12x2=2x-12x2=0，

得x=12.

当x∈（0，12）时，k′（x）

当x∈（12，+∞）时，k′（x）>0.

则x=12时取得最小值，

k（x）min=k（12）=ln12+1=1-ln2.

k的取值范围是（-∞，1-ln2）.

点评：对于恒成立的不等式中，如果求的参量很容易分离出来，不等号的另一侧构造x的函数，对于x取值范围内任意一个数都有a≥f（x）恒成立，则a≥f（x）max，若a≤f（x）恒成立，则a≤f（x）min.这种方法是学生最常用的方法，但其缺点是往往需要进行多次求导，构造函数，当遇到不等式中含有对数等符号时会比较困难.

二、参数讨论法

【例2】已知函数f（x）=ax+bx+c（a>0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1.若f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立，求a的取值范围.

解析：f（1）=1-1=0，

a+b+c=0，

又f′（1）=a-b=1，

b=a-1，

c=1-2a.

令g（x）=f（x）-lnx=ax+a-1ax+1-2a-lnx.

x∈（0，1]，

g（1）=0，

g′（x）=a-a-1x2-1x=ax2（x-1）（x-1-aa）.

当0

g（x）在（0，1]上单调递增，

g（x）≤g（1）=0，

此时f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立.

当a>12时，则有1a-1

记a1=max{1a-1，0}，对任意x∈（a1，1）都有g′（x）

当x∈（a1，1）时，有g（x）>g（1）=0，

此时f（x）≤lnx在（0，1]上非恒成立.

综上，f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立时，a的范围为（0，12].

点评：将恒成立的不等式转化为f（x）≥0或f（x）≤0形式，即f（x）min≥0或f（x）max≤0，通过对参量的讨论，寻找函数的单调性，继而求得函数的最值.对于分类讨论的问题，要求学生能准确找到参量讨论的分界点，在可取范围内的讨论做到不重不漏.

恒成立求参量的问题无论采取何种方法，本质上都是利用函数的单调性求函数的最值，这也是函数问题的重点和难点，需要学生通过分析抓住式子的特征，灵活变形，以最合适的方法解决问题.