关于一道课本习题的教学思考

课本习题蕴藏着丰富的内涵，挖掘、提高课本习题的教学价值，是教师应承担的责任，也是完成教学任务的必要环节，教师应高度重视课本习题的教学.下面就一道课本习题谈谈笔者的教学思考.

人教版第二十六章《二次函数》习题26.3中的综合运用第9题：某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？

利润最大化是二次函数知识在实际生活中的具体应用，解决问题的关键是分析数量关系并建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题.对利润问题的探究有利于学生巩固二次函数图像与性质的相关知识，培养学生良好的思维习惯以及用二次函数模型解决实际问题的能力.教学时可设计两个环节引导学生解题：构造关于利润的函数解析式；利用求函数最值的方法求利润的最大值.

一、引导学生得出函数关系式

将实际问题中的数量关系转化为函数关系式是本题的难点，可设计以下问题：

1.在此题中，与利润相关的量有哪些？（房价、入住房间数、总支出）意在分析题意，思考各个量之间的关系.

2.利润如何用这些量来表示？（利润=房价×入住房间数-总支出）意在明确利润的计算方法.

3.如何用数学语言将上述关系表示出来？重点是关系式中各个量的表示，难点是对“每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲”这句话的理解.

为了突破这个难点，可设计一个表格，引导学生发现各个量之间的关系.

房价

（元/天）入住的

房间数收入利润原价18050180×50180×50-20×50增加10×1元180+10×1增加10×2元180+10×2增加10×3元180+10×3……增加10x元180+10x

学生分组合作完成表格，不难发现表格中最后一行的结论：当原价增加10x元时，房价为（180+10x）元/天，入住房间数为（50-x）间，收入为（180+10x）（50-x），利润为（180+10x）（50-x）-20（50-x）元.于是得到利润的函数关系式：w=（180+10x）（50-x）-20（50-x）=-10x2+340x+8000.这样设计学生有充足的探究时间，充分体验特殊到一般的类比的数学思想.

二、求利润的最大值

求利润的最大值就是求函数的最大值.如何引导学生求函数的最大值是教学时的重点.

1.引导学生分析：要求函数最值应先确定自变量x的取值范围，这要从考虑含x的式子代表的实际意义入手分析.房价上涨说明：x≥0，入住的房间数50-x≥0.所以0≤x≤50，且x为整数.

2.引导学生回忆求函数最值的方法：①公式法；②配方法；③作图法.通过以上准备，得出此题解答过程.

解：设房价涨了10x元/天，宾馆的利润为w元/天.

w=（180+10x）（50-x）-20（50-x）=-10x2+340x+8000（0≤x≤50）.

a=-10

当x=-b2a=3402×（-10）=17，

即房价为180+10×17=350（元/天）时，wmax=4ac-b24a=4×（-10）×8000-34024×（-10）=10890.

答：房价定为每天350元时，宾馆利润最大，为10890元.

通过以上学习，学生掌握了将实际问题转化为二次函数问题的方法，但为了发展学生的思维，可进一步提出新的问题：如果设房价上涨了x元或设房价为x元/天，那么又该怎样解决问题呢？引导学生通过表格分组探究，得到解法.

1.若设房价上涨了x元/天，则入住房间数为50-x/10，w=（180+x）（50-x/10）-20（50-x/10）.

房价上涨（元/天）房价入住的

房间数收入利润18050180×50180×50-20×50上涨10元180+10上涨20元180+20上涨30元180+30……上涨x元180+x2.设房价为x元/天，则入住房间数为（x-180）/10，w=x[50-（x-180）/10]-20[50-（x-180）/10].房价（元/天）入住的房间数收入利润18050180×50180×50-20×50190200210…x通过以上的探究活动，学生体会到尽管所设自变量不同，但是殊途同归，而最先的方法计算量较小.这样设计不仅使学生巩固了将实际问题转化为二次函数问题的方法，理解了设不同的自变量并不会改变问题实质，还提高了学生的数学建模能力，突破了此题难点；而且通过一题多解，优化解题方法，培养了学生良好的思维习惯.

为了培养学生思维的深刻性，完成此题后，可再进行变式延伸：

某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于300元.房价定为多少时，宾馆利润最大？

由上题得知房价为350元/天时，宾馆利润有最大值.但这里限定房价300元/天以后，函数的最大值还一样吗？又该如何计算？学生充分讨论，小组发表不同的意见，最后再结合图象讲解.

设房价增加了10x元，函数的解析式为w=-10x2+340x+8000.

房价不得高于300元，即180+10x≤300，x≤12.

又入住的房间数为50-x，即x≤50.0≤x≤12.

a=-10

即房价为180+10×12=300（元/天）时，

w有最大值，wmax=10640.

可以看出，此变式中二次函数顶点横坐标并不落在取值范围内，需要结合函数的图象及性质求最值.

综上所述，课本习题教学中，我们可以从学生的认知角度出发，逐层深入，以符合知识与技能呈螺旋式上升的规律，力求渗透数学类比思想、化归思想、数形结合及函数建模等思想，有效提高学生的综合应用能力.