二阶效应下假想水平力的探讨

摘要：研究二阶效应的产生机理，以及二阶效应对结构的影响；通过把二阶效应转化为假想水平力，得出假想水平力的近似公式，并验证该近似公式的可靠性。

关键词：二阶效应 假想水平力

Abstract: the mechanism of production of second order effect, and second order effect on the influence of the structure; Through the second order effect into imaginary horizontal force, draw imaginary horizontal force approximate formula, and verify the reliability of the approximate formula.

Keywords: second order effect imaginary horizontal force

中图分类号：O175.23文献标识码：A 文章编号：

引言：

框架结构内力分析采用一阶弹性分析方法（即根据未变形的结构建立平衡条件，不考虑结构位移对内力的影响），一般可获得合理的结果。但在研究框架的稳定问题时，必然要涉及框架结构的位移和位移对内力产生的影响，即二阶效应（效应），根据位移后的结构建立平衡条件，这就是二阶弹性分析。

二、二阶弹性效应理论：

荷载与变形之间为线性关系，结构按未变形前的几何形状和位置来进行计算，叠加原理适用，这种计算为一阶分析；对于需要考虑变形对结构内力计算的影响，应按结构变形后的几何形状和位置来进行计算，此时，荷载与变形之间已非线性关系，叠加原理不再适用，这种计算称为二阶分析[1]。

当构件考虑二阶效应时[2]，其侧向位移与弯矩需要放大，放大系数为公式（1），

其中，p为轴压力；S为构件抗侧刚度；

某悬臂柱，受水平荷载为F，竖向荷载为p，杆件长度为h，杆件抗弯刚度为EI，计算简图如下图1所示。

图1 悬臂柱计算简图

现考虑二阶效应的影响，假设在水平荷载F的作用下，构件侧向位移为，附加弯矩产生的侧向位移为，则最后的侧向位移为=+，其中，二阶弯矩为p。1）当构件为直杆，即不考虑杆件自身的p- 效应时，此二阶弯矩相当于在杆件上端作用p/h的水平力，该水平力产生的侧向位移为=p/（hS）。

则，=+=F/S+ p/（hS），求解= ，其中为一阶分析得到的侧向位移，若考虑二阶效应，则侧移需要乘以公式（1）的放大系数。此时的水平假想力相当于

p/h （2）

2）若考虑杆件变形是曲线，设变形曲线为正弦函数为公式（3）所示，

由力的平衡条件得到方程为，其中，带入初始条件x=0，y=0；x=h，y=。得到变形曲线为

（3）

现求解，在二阶弯矩p作用下产生的水平位移。现对柱顶施加单位力1，如图2所示，在单位力作用下，杆件的弯矩为，

（）

图2 单位水平力作用

二阶效应产生的弯矩为（）

则

由=+=，得到，则放大系数为

对泰勒展开取前两项，得 ，

从上面式子可以得到，在二阶效应下，相当于在原来的水平力F基础上，加上假想水平力（4）

，为杆件直线变形情况下的附加水平力（2）。

三、算例：

在《钢结构设计规范》中，对二阶效应明显的需要按二阶分析进行结构内力、变形计算。

在规范中，以假想水平力的形式出现。现对本文提出假想水平力公式进行验算，取一层结构，以层模型的形式，即悬臂柱，柱顶集中质量的形式。柱子EI=1.314e13，水平荷载F=14600N，竖向荷载p=438047N，层高h=3000mm，按假想水平力公式（2）、（4）分别计算[3]，如表1所示。

表1 一层结构二阶效应位移值

从计算结果来看，公式（4）形式的假想水平力更符合真实情况，说明柱子的变形是曲线型不是直线型。

对一层以上的框架结构，假想水平力如何考虑呢？经前人的研究，对于层数的影响，取折减系数；因此作者建议采用公式（5）形式的假想水平力。

其中， 为考虑楼层数的折减系数，其中为楼层数，当>1.0，取=1.0，即当只有一层时，不考虑折减系数，因为此时按变形曲线得到的公式（4）是理论值；是层间位移，h为层高；柱子轴压力。

某二层结构，按层模型考虑。柱子EI=1.314e13，每层水平荷载F=14600N，每层竖向荷载p=438047N，h=3000mm，按假想水平力公式（5）计算，如表2所示。

表2二层结构二阶效应位移值

同样的二层结构，每层水平荷载F=14600N，每层竖向荷载p=100000N，按假想水平力公式（5）计算，如表3所示。

表3 不同竖向荷载下二层结构二阶效应位移值

对于三层的框架结构，按层模型考虑。柱子EI=1.314e13，层高为h=3000mm。取不同的荷载值，经计算得到表4所示。

表4 三层结构二阶效应位移值

对表1、2、3、4不同条件下二阶效应判别式进行验算，计算结果如表5所示[4]。

表5 二阶效应判别式计算值

《钢结构设计规范》规定当>0.1时，结构需要按二阶分析计算位移、内力，从表5可以知道，当判别式大于0.1时，的确产生了不可忽视的附加位移，也即产生了附加弯矩。但为什么，规范对假想水平力的形式按下列公式（6）考虑呢？

（6）

其中，为不同材质影响系数。

跟公式（5）相比较，把换成了1/250，那是因为，实际工程[5]，不允许侧移过大，《钢结构设计规范》对层间侧移的规定是h/400，又考虑构件实际加工过程中的制作误差，即初始缺陷，又参考国外规范对假想水平力的规定，综合考虑得出公式（6），而公式（5）是不考虑对层间侧移限值的条件下，理论上得到的近似公式。

四、结论：

通过对悬臂结构的二阶效应理论推导，得出了二阶效应产生假想水平力的近似公式（4）；对于一层以上的结构形式，在前人研究楼层对假想水平力的影响的基础上，综合提出二阶效应下假想水平力的理论近似公式（5）；通过sap2000软件的算例验证，理论近似公式是可靠的，可供结构设计人员参考。

【参考文献】：

[1] 龙驭球等. 结构力学[M]，高等教育出版社，2006.12.1

[2] 陈绍蕃. 现代钢结构设计手册[M]，中国电力出版社，2006.1

[3] 北京金土木公司. Sap2000中文版使用指南（第二版）[M]，人民交通出版社，2011.12.29

[4] GB50017-2003钢结构设计规范[S]，中国建筑工业出版社，2003

[5] 崔佳等. 钢结构设计规范理解与应用[M]，中国建筑工业出版社，2004.3。

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。