分离变量法在解初边值问题中的应用

摘要：分离变量法在解波动方程及热传导方程的初边值问题是很常用的方法，通过把所求方程的解分离成若干分别只含有一个自变量的待定函数之积，再将这些特解做适当的线性组合，就可得初边值问题的解。

关键词：分离变量法；叠加原理；Sturm-Liouville问题；特征函数；特征值

中图分类号：TN248.4 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 （2012） 17-0000-02

1 Sturm-Liouville问题

对问题

假设：

（1） 和 在 上连续，

（2） 在 上连续且 或 在 内连续，在区间端点处有一阶奇性

（3） 在 上连续且

则：（1）存在无穷多个特征值

当 时，

对应这些特征值有无穷多个特征函数 ……

（2）设 是特征值 所对应的特征函数，那么所有的 组成一个正交函数系

（3）若函数 在 有一阶连续导数及分段连续的二阶导数且满足所给的边界条件，则 在 内按特征函数展开为绝对且一致收敛的级数

其中

2 分离变量法

（1）定义：利用具有变量分离形式的特解来构造初边值问题的解的方法称为分离变量法。

（2）下面以齐次波动方程的初边值问题为例来具体介绍分离变量法

我们求（1）的可以分离变量的不恒等于零的特解：

并要求它满足齐次边界条件（3）（4）。

将（5）代入方程（1）得到

将上式分离变量，有 （6）

由于在（6）式中，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能，记为 ，就得到

（7）

（8）

这样方程（6）就被分离为两个常微分方程，求解这两个方程来得到（1）的特解，为使此解是满足齐次边界条件的非平凡解，就必须找方程（8）满足边界条件的非平凡解。

（9）

（1）当

只能 。故在

（2）当 时， ，要满足边界条件（9）， 也只能恒等于零。

（3）当 时， 。边界条件 知 ，再由 可知，为了使 ，就必须 。于是

。这样就找到一族非零解 （10）

称（10）右端的函数为常微分方程（8）满足边界条件（9）的固有函数（或特征函数），而 称为响应的固有值（或特征值）。

将固有值 代入方程（7），可得其通解为

其中 为任意常数。这样就得到方程（1）满足齐次边界条件（3），（4）的下列分离变量形式的特解：

再由叠加原理，作这种特解的适当的线性组合，得出初边值问题的解

接下来决定常数 ，在这里问题

对应上面的问题一Sturm-Liouville问题，相当于取

由初始条件有 ，

对应Sturm-Liouville问题结论（3）的情形

， ， 。

同理， ，

最终，得到用级数形式表示的齐次波动方程的初边值问题的解为

其中， ， 。

3 在不同边界条件下对方程 的特征值及特征函数的讨论

随着 和 在不同边界条件下方程

的特征值及特征函数如下：

边界条件 特征值 特征函数

（k=1，2，3……）

（k=1，2，3……）

，其中 是方程 的第k个根

4 通过例题解析体现分离变量法的应用

例：

边界条件齐次的且是第一类的，令

得固有函数 ，且

于是 ，再由初始条件确定常数 及 ，由初始值得 ，

（当 时）

因此所求解为

5 小结

本文借助Sturm-Liouville问题的结论以齐次波动方程的初边值问题为例介绍了分离变量法，分离变量法还可以解决热传导方程的初边值问题，在数学物理方程中应用十分广泛，又对不同边界条件下经常要求的方程 的特征值和特征函数加以归纳，直接使用结论可简化计算，最后以实例展示分离变量法的具体应用。

参考文献：

[1]谷超豪.数学物理方程[M].北京：高等教育出版社，2002，7.