强奇异卷积算子交换子在加幂权的Herz型空间上的弱有界性

【摘要】本文研究了强奇异卷积算子交换子在加幂权的Herz型空间的弱有界

【关键词】加幂权的Herz空间 强奇异卷积算子交换子

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)08-0138-02

1 引言

Liu Zongguang在[2]中证明了强奇异卷积算子交换子在Herz型空间的有界性,并给出了L条件的定义.下面是其一些结果:

引理1.1设为一个正整数,且。则存在常数C

定义1.2 设,若存在只与n有关的常数C>0,使得对任何,当j≤k-2时,对任意的,都有

其中,即bj是b在Bj上的平均,我们说b满足L条件。

2 主要引理及定理

下面的几个引理在定理的证明过程中十分重要,所以首先来给出它们的内容。

引理2.1 [1]。

假如且,则是到有界的算子。

注1:由引理2.1,特殊的,当时,若,且,则是到有界的算子。

引理2.2[2]m是一个正整数,u>1.若对某个Nm,当时,,则,其中C只和m有关。

定理2.3 令是一个正整数,。

假设,则存在C>0,使得对任意的和任意的,有

3 定理的证明

定理2.3的证明:

=A1+A2,Nm为引理2.2中的常数。因为

且是有界的,则:

由注1,就有

当k≥Nm时,对f(x)做分解:

这样

由是有界的,有:

下面估计

最后来估计B1.我们首先要对进行点态估计,这里;这时,我们能很容易的看出;应用Holder不等式,二项式定理和这样的结论:若,则有且,其中为范数,bj是b在Bj的平均,我们可得到:

若,则

则由引理2.2,就有:

将满足最后一个不等式的最大整数k取作,则有:

由对D1,…Dm+1的估计,就得到

其中C与无关。

定理2.3证毕。

参考文献

[1] J.Garcia-Cuerva,E.Harboure,C.Segovia and J.L.Torrea,Weighted norminequalities for commutators of strongly singular integrals,Indiana Univ.Math.J.,40(1991),1397-1420.

[2] Liu Zongguang,Boundedness of commutators of strongly singular convo-lution operators on Herz-type spaces,Studia mathematica,157:1(2003)33-46.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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