对“格子布·棋”问题的讨论

【关键词】 数学教学；“格子布・棋”问题；讨论

【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】 A

【文章编号】 1004―0463（2016）10―0088―01

一、“格子布・棋”介绍

如图1所示为8×8的“格子布棋”棋盘，比赛中以一个五子棋为棋子，起点在左上方，终点在右下方。从起点开始，两个参赛者互为对手按照先后顺序轮流下棋，每人每次只能走一格，且方向只能向下、向右或斜向下，首先到达终点者赢得比赛。

二、“格子布・棋”相关问题分析

关键一：好点。好点就是在比赛过程中，如果能先踩到这些点中的一个，按照一定的方向和规律，无论对方怎么走，本方就可以一直踩到好点，直到最后先到达终点赢得比赛。要赢得比赛，必须本方先到达终点，因此终点一定是一个好点。在本方到达终点前，本方可能有三个位置，就是离终点最近的那三个点，利用这种逆向分析的方法从终点向前倒推两步，如果本方先抢到A点（如图2所示），则对方只能向下，本方接着向下就可以赢得比赛，因此A点为一个好点。同理B、C两点也为好点（如图3所示）。通过观察和分析发现A、B、C和终点都为“好点”，且在同一个“田字格”的四个顶点上，据此可以猜想其他好点也应该有相似的位置特点。

关键二：顺序。寻找完好点的后，又有一个新的问题出现：如何才能够在一开始就踩到好点了？让对方先走，对方向下，本方向下踩到好点，对方向右，本方向右踩到好点，对方斜向下，本方斜向下踩到好点，无论哪种情况本方都可以踩到好点并一直延续下去并赢得比赛。

关键三：线路。根据以上分析，让对方先走，且本方只是一次先踩到好点不足以保证赢得比赛，还有一个很重要的因素，要一直都踩在好点上，不能给对方踩到好点的机会。如何才能一直踩到好点了？当本方踩到好点，对方有三种走的可能，向下，向右和斜向下，当对方向下时，要踩到好点，本方必然要向下，因为在一步之内只有向下有一个好点，同理，当对方向右和斜向下时，本方也只能向右和斜向下，才能保证踩到下一个好点。

因此，赢得比赛的秘诀就是将几个关键综合起来，即让对方先走，本方的路线和对方始终保持一致。

三、改变条件，拓展探索

1. 改变起点位置。如图4所示，以第一个“田字格”为例分析：起点为D、E、F和G点，本方先走。起点为D和F点，第一步向右、起点为E和G点，第一步向下、以后按照跟随策略进行，则赢得比赛。

起点为H点。若对方先走，方向向下则本方向右，对方方向向右则本方向下；若本方先走，则第一步斜向下。之后都按照跟随策略进行，则赢得比赛。

其他情况。棋盘实际上是由“田字格”组成的，棋盘中的每一个“田字格”都是相似的，棋盘中的其他点的走法都可以和第一个“田字格”类比得出具体走法。

实际上，不管起点怎么变化，赢得比赛的关键是根据棋盘中的“田字格”上的好点位置，寻找与起点与最近的好点，并根据起点与好点之间的格数判断先走还是后走，根据起点与好点的方位确定走的方向。

2. 改变布的格子数。根据前面的分析，棋盘是由若干“田字格”组成的，如何改变格子数，棋盘可能还是由若干“田字格”组成，也可能是若干“田字格”组成和一列格子组成，也可能是由若干“田字格”和一行格子组成的。改变格子布的格子数，无论改变后的格子数是什么样的，或者是格子数为5×8，或者格子数为8×5，或者格子数为6×6、5×5等等（如下图所示），还是将棋盘格子数改变为2n×2n、（2n-1）×（2n-1）、（2n-1）×2n或2n×（2n-1）（n>0的自然数）其赢得比赛的关键是确定新的棋盘的“田字格”，以此为依据确定起点距离“田字格”中好点的距离和方位，进而确定下棋的先后顺序及方向。

总之，改变起点和改变格子数本质是一样的，要赢得比赛，其关键还是先确定棋盘的“田字格”，并以此为依据确定起点距离“田字格”中好点的距离和方位，进而确定下棋的先后顺序及方向。这是此类问题解决本质所在。