寻根课本――习题教学的新视角

有人把高三的教学称之为解题教学，在知识的梳理、整合过程中出现了各式各样的真题、模拟题等。学生也被各种各样的资料所左右，偏离课本，钻入题海之中，但其实大量的习题都来源于课本，是教材中例题、习题的再加工或综合、类比、延伸与拓展的结果。因此，回归课本，钻研教材，研究课本习题，更有利于师生从题海中解脱出来，找到问题的根与源，从而提高复习的效率和效果。

问题1：在ABC中，B（-6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率的乘积为 ，求顶点A的轨迹（选修2-1第39页习题4）。

这是求曲线方程中一般类型的题目，通过建系、设点、列式、代换、化简、检验，直接得到曲线方程为 - =1（y≠0）。

探究1.将数字形式化，从特殊到一般，探求问题的一般规律

问题2：在ABC中，B（-a，0），C（a，0），（a>0），直线AB，AC的斜率的乘积为m。（1）若m=1，求顶点A的轨迹；（2）若m为不等于零的常数，求顶点A的曲线方程。

简解：（1）类似问题1的解法，顶点A的轨迹为x2-y2=a2（y≠0），是实轴长为2a的等轴双曲线且除去两点（±a，0）。

（2）设A（x，y），由直线AB，AC的斜率乘积为m，得 ・ =m，即y2=mx2-ma2。①当m>0时， - =1（y≠0），顶点A满足的曲线方程是以BC为实轴，离心率为 1+m的双曲线（去掉B，C两点）；②当-1

由此，我们欣喜地获得了圆锥曲线的又一定义：到两个定点A、B的斜率的乘积为定值m的点的轨迹，当m=-1时，曲线是以AB为直径的圆（去掉A，B两点）；当m

探究2.观察所给问题的数据特征，探求问题的本质属性

问题3：在ABC中，B（-6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率的乘积为- ，求顶点A的轨迹。 + =1（y≠0）

这里得到椭圆的方程中对应的a2=36，b2=81，与对应的斜率乘积- =- ，是巧合还是必然呢？对于一般形式，能否由此得出相应结论？对此，我们有：

命题1：在ABC中，B（-a，0），C（a，0），直线AB，AC的斜率乘积为- ，则顶点A的轨迹方程： + =1（x≠±a）

探究3.逆向探究

对课本上所给的经典习题，我们除对之一般化之外，还往往考虑其逆命题、否命题、逆否命题。这也是培养学生从特殊到一般等创新能力的常用方法。对于上述命题，其逆命题是否正确呢？对此，我们有（证略）：

命题2：椭圆 + =1（a>b>0）长轴上的两个顶点与椭圆上的任一点（异于这两个顶点）的连线的斜率的乘积为定值- 。

推论1：过椭圆 + =1（a>b>0）中心的任意一条弦的两个端点与与椭圆上的任一点的连线的斜率（斜率存在且不为0）的乘积为定值- 。

应用该结论可直接求解“苏中三市（南通、泰州、扬州）2012届高三第一次调研测试第13题”及“2011年江苏省高考第18题”等。

探究4.类比探究

将上述性质类比到双曲线，我们有（证略）：

推论2：过 - =1上两个顶点（-a，0），（a，0）与双曲线上任一点（异于两个顶点）与两个顶点的连线的斜率乘积为 。

推论3：将双曲线 - =1上过中心的任意一条直线与双曲线的两个交点，双曲线上的任一点与这两个交点的连线的斜率（斜率存在且不为0）的乘积为定值 。

探究5.几何角度

对圆上任意一点，若斜率存在且不为零时，与圆的直径的两个端点连线的斜率的乘积等于-1，对于椭圆，可以看作是以圆作伸压变换而形成的。将圆x2+y2=1作伸压变换T可以得到椭圆 + =1（a>b>0）。伸压变换T对应的矩阵[ ]，在这种变换下对应圆的直径变成了椭圆中过中心的弦，圆上直径所对应的圆周角为直角，椭圆上任一点与过中心的弦的两个交点的连线的斜率的乘积为定值- 。

证明：设圆x2+y2=r2上任意直径的一个端点的坐标为A（x1，y1）则由对称性知另一个端点坐标为B（-x1，-y1），在矩阵[ ]作用下对应点的坐标变为A（x1，y1）=（ax1，by1），B（x2，y2）=（-ax1，by1），圆上任一点P（x，y）在伸压变换T下的矩阵为[ ]，在这种变换下对应点的坐标为P（x，y）=（ax，by）则

kP`A``・kP`B`= ・ = ，

由于p（x，y）在圆x2+y2=r2上，代入可得

kP`A``・kP`B`= =- 。

同样，将圆x2+y2=1作变换T=[ ]可以得到双曲线 - =1（a>0，b>0），双曲线上任一点与过中心的弦的两个交点的连线的斜率的乘积为 。

抛物线不是有心的二次曲线，故类似的性质不太明显，但如过焦点的一条弦上的两个端点与顶点连线的斜率的乘积为定值。一般的情况下，一直线若过对称轴上一定点且与抛物线有两个交点，则两个交点与抛物线顶点的连线的斜率为定值。

课本中的某些习题本身就是一个性质的延伸或结论的具体化形式，通过它往往能揭示一类问题的本质或沟通某些知识的内在联系，从而加强学生对知识的纵横联系，丰富学生的知识应用领域，提高其分析问题、解决问题的能力。教师要积极引导学生通过深入挖掘和剖析课本习题来实现“数学探究”活动，使学生认识到教材编写这道题目的意图，这不仅有利于完善学生的数学知识结构和认知结构，而且能激发学生对教材题目研究的兴趣，对培养学生的探究能力、创新能力和实践能力是大有裨益的。