共轭复数的性质在初等几何问题中的应用

摘 要： 本文通过总结共轭复数的性质，将其运用于几何问题，给出了初等几何证明的新方法。

关键词： 共轭复数 复平面 几何意义

复数是中学数学中重要的内容，共轭复数在中学数学中只提到概念，而对于性质则没有涉及，然而共轭复数及其性质却在证明初等几何问题中有广泛的应用.本文就利用共轭复数及其性质来证明初等几何中的一些问题.

共轭复数中，设z=x+iy，则z的共轭复数为=x-iy，显然||=z， Arg=-Argz（其中Argz表示复数z的辐角）.在复平面上，z与两点是关于实轴的对称点.性质［１］如下：

（1）=z， =±

（2） =，=（z≠0）

（3）|z|=z， Rez=，Imz=

（4）设R（a， b， c， …）表示对于复数a， b， c， …的任一有理运算，则：

R（a， b， c， …）=R（， ， ， …）.

例1.设z及z是两个复数，试证：|z+z|=|z|+|z|+2Re（z），并应用此等式证明三角不等式|z+z|≤|z|+|z|.

证明：|z+z|=（z+z）（）=（z+z）（+）

=z+z+z+z=|z|+|z|+（z+z）

=|z|+|z|+2Re（z）

等式成立.

|z+z|=|z|+|z|+2Re（z），且Re（z）≤|z|=|z||z|.

|z|+|z|+2Re（z）≤|z|+|z|+2|z|=|z|+|z|+2|zz|

＝（|z|+|z|）.

|z+z|≤|z|+|z|（等式中等号成立的条件是向量z，z同向）.

例2.证明：|z+z|+|z-z|=2（|z|+|z|），并说明其几何意义.

证明：对任意复数z，由性质（3）知|z|=z，则：

|z+z|+|z-z|=（z+z）（）+（z-z）（）

=（z+z）（）+（z-z）（）

=（z+z+z+z）+（z+z-z-z）

=2（z+z）=2（|z|+|z|）

即|z+z|+|z-z|=2（|z|+|z|）成立.

几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的一组邻边和的2倍.

例3［２］.若β为单位圆内点，α为复平面上点，证明：＝1，当|α|=11，当|α|>1，并说明其几何意义.

证明：（1）当|α|=1时，由α≠β得，＝=＝=1

（2）当|α|

＝|α|+|β|-2Re（β）

且|1-β|=（1-β）（1-α）＝1+|α||β|－2Re（β）得，

|1-β|-|α-β|=1+|α|β-|α|-|β|=（1-|α|）（1-|β|）

|α|

（3）当|α|>1时，同（2）知|1-β|-|α-β|1

等式的几何意义：当β为单位圆内点，α分别为单位圆上，单位圆内和单位圆外点时，对应的点z=分别在单位圆上、圆内和圆外.

例4.试证：两向量（z=x+iy）与（z=x+iy）互相垂直的充要条件是z+z=0.

证明：|z-z|=|z|+|z|

则|z-z|=（z-z）（）=z+z-z-z

=|z|+|z|-（z+z）

由以上两式可得：z+z=0

例5.设z，z，z满足条件z+z+z=0及|z|=|z|=|z|=1，试证z，z，z是一个内接于单位圆周的|z|=1的正三角形的顶点.

证明：由题意知，点z，z，z在单位圆|z|=1上，要想证z，z，z是一个内接于单位圆周的正三角形，只需证|z-z|=|z-z|=|z-z|=.

z+z+z=0|z+z|=|-z|=1

|z+z|=（z+z）（）=（z+z）（+）=z+z+z+z

=|z|+|z|+（z+z）=2+（z+z）

则z+z=|z+z|-2=-1

|z-z|=（z-z）（）=（z-z）（-z）=z+z-z-z

=|z|+|z|-（z+z）

|z-z|=2-（-1）=3，即|z-z|=

同理可得：|z-z|=|z-z|=

综上可得，命题成立.

参考文献：

［1］钟玉泉.复变函数论［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［2］孙清华，孙昊著.复变函数内容.方法与技巧［M］.武汉：华中科技大学出版社，2003.7.

基金项目：安康学院大学生科技创新项目（项目编号：2010AKXYDXSO1）

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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