利用现代技术探究数学奥秘

【摘要】通过借助电脑工具探究自编自解题目“已知圆A：x2+y2=R2（R>0），定点B（a，0）（a>0），E是BC所在直线上的一点，且点E分CB的比为λ。

一、问题的引出：

已知圆A：x2+y2=R2（R>0），定点B（a，0）（a>0），E是BC所在直线上的一点，且点E分CB的比为λ。

（1）过点E作BC的垂线与AC所在的直线相交于点P，求点P的轨迹。

（2）若AC交圆于另一点F，过E点作直线AC的平行线交BF于G点，过点E与G分别做直线BC与BF的垂线，求这两条垂线交点H的轨迹。

我对该题进行了探索，在求解过程中我借助了电脑工具采用了几个有特色的方法，探究出很多重要的结论，下面介绍一下我的探究过程，请专家给予指导。

二、探究过程：

探究一：E为特殊点的情况：

1.若E为BC的中点

借助几何画板工具很容易描绘P点的轨迹图形是以A，B两点为焦点的椭圆（如图3），证明过程可以借助“动点P到定点A，B的距离之和等于定值”这一关键（证明过程略）。从图3中可以得出第一个猜想：

BC的中垂线可能是椭园的切线，下面给出证明过程：

证明：若BC的垂直平分线EP不是椭圆P的切线，则直线与椭圆还有一个交点P'，所以应有|P'A|+|P'B|=R，而 |P'B|=|P'C|，所以|P'A|+|P'C|=R，所以P'、A、C三点共线，所以 P'与P重合，所以猜想是正确的。

若设圆A：x2+y2=R2（R>0） ，定点B（a，0）（a>0），圆上有一动点C（x0，y0） ，则容易得出：P点的轨迹方程为：

■+■=1 。

由此得出定理一：

定理一：圆A内有一定点B，圆上有一动点C，线段BC的垂直平分线交AC于点P.则点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，该垂直平分线是该椭圆以P为切点的切线。

若AC交圆于F，线段BF的垂直平分线交AF于点J，EP与GJ交于点H，问H的轨迹？

借助几何画板的演示可以看出H的轨迹是一条直线，根据图象的特点可以得出猜想二该直线可能是椭圆的准线。

下面给出证明过程：设圆A：x2+y2=R2（R>0）内有一定点B（a，0）（a>0），圆上有一动点C（x0，y0），则容易得出：

直线PE的方程为： y-■=-■（x-■） （1）

直线GJ的方程为： y+■=-■（x-■） （2）

考虑到：x■■+y■■=R2（R>0） 容易得：H的轨迹是直线方程为： x=■

因为P点的轨迹方程为■+■=1 ，容易证明x=■，即是椭圆■+■=1 的准线。

由此得出定理二：

定理二：圆A内有一定点B，圆上有一动点C，线段BC的垂直平分线交AC于点P，AC交圆于F，线段BF的垂直平分线交AF于点J，EP与GJ交于点H，则H点的轨迹是P点轨迹椭圆的一条准线。

利用几何画板拖动点B，当点B在圆上或是在圆外的时候，发现点P的轨迹不是椭圆了，由此得出猜想三，这时点P的轨迹是是双曲线，点H的轨迹是该双曲线的一条准线。

证明：当点B在圆上时，非常简单发现点P与圆心A是重合的，说明这时点P年轨迹就是一点A，点H的轨迹也是点A，说明猜测是不正确的，当点B在圆外时，由双曲线的定义知，点P的轨迹是双曲线，因为点P与点H的轨迹方程分别是■+■=1， x=■ ，这时a>R所以以上两个方程变为：■-■=1 与 x=■ 显然直线x=■是■-■=1的一条准线。

由此得到定理三：

定理三：若B点在圆A上，圆上有一动点C，线段BC的垂直平分线交AC于点P，AC交圆于F，线段BF的垂直平分线交AF于点J，EP与GJ交于点H，P点与H的轨迹都是圆心点A，若B点在圆外，点P的轨迹是一双曲线，点H点的轨迹是该双曲线的一条准线。

从该题的探究过程中发现猜想的结论当点B在圆上时点P的轨迹是双曲线，而在证明过程中得出点P的轨迹确是一个点。

因此可以有以下心得：就是单纯的从几何画板的图形展示中得出的结论有时是不可靠的，必须经过科学的证明才可信。

2.E与C点重合

容易得P点的轨迹是一个圆，其方程为：x2+y2=R2（R>0）

3.E与点B重合

设C（Rcosθ，Rsinθ），则E（a，0）

KBC =■，则PE的方程：y=■（x-a），AC的方程为：y=tanθx，将PE与AC的方程联立得点P轨迹的参数方程为：x=■y=■

经几何画板演示，图形是由两个类似椭圆形成的图形如图5：

探究二：E为一般点的情况：

若点E为一般点， 点E分CB的比为λ。

（1）过点E作BC的垂线与AC所在的直线相交于点P，求点P的轨迹。

（2）若AC交圆于另一点F，过E点作直线AC的平行线交BF于G点，过点E与G分别做直线BC与BF的垂线，求这两条垂线交点H的轨迹。

通过几何画板演示，由此得出一个猜想，

猜想四：（2）点H的轨迹还是一条直线。

下面给出该猜想的证明过程：

证明：设圆A：x2+y2=R2（R>0）内有一定点B（a，0）（a>0），圆上有一动点C（Rcosθ，Rsinθ），则 E（■，■）， F（-Rcosθ，-Rsinθ），G（■，■） K■=■，

KBF=■ 则HE的方程：

y-■=■（x-■） ，HG的方程为：

y+■=■（x+■）

由此得H点的参数方程：

x=■y=■（θ为参数）。

从横坐标x看，显然是一条直线但从纵坐标y看， 的值域还无法求出，这还不能说明猜想五的准确，只能说明点H在垂直于AB的直线上。

由此得到出定理四：

定理四：已知圆A：x2+y2=R2（R>0），定点B（a，0）（a>0），E是BC所在直线上的一点，且点E分CB的比为λ，若AC交圆于另一点F，过E点作直线AC的平行线交BF于E？蛐 点，过点E与E？蛐 分别做直线BC与BF的垂线，则这两条垂线交点H在与线段AB垂直的直线上。（如图6）

参考文献：

《内蒙古信息技术教学研究论文集》于显双 东北师范大学出版社