三种教材习题的数学认知水平比较

教材是体现课程标准的理念、目标和内容，直接指导课程实施的潜在实施课程。义务教育实验版数学教材虽然在各方面得到了普遍赞誉，但也出现了一些问题，如习题数量偏少，习题的难度不够得当等。本文选择“北师大版”、“人教版”和 “浙教版”三种教材作为比较对象，以顾泠沅先生提出的数学认知水平分析框架对“梯形面积”的习题进行对比分析，从而了解不同教材的编写特色，并为教师自主设计相关习题提供参考。

一、数学认知水平框架

顾泠沅先生先后两次（1990，2007）进行大样本测试，从大量外显行为所表征的教学目标中析取内隐主要因素，由此确定目标框架的层次，将数学认知水平分析框架分为4层次架构：

水平1：计算――操作性记忆水平；水平2：概念――概念性记忆水平；水平3：领会――说明性理解水平；水平4：分析――探究性理解水平。其中，水平 1、2 为记忆水平，为较低认知水平。水平3、4 为理解水平，属于较高认知水平；第 4 水平通常称作高认知水平。

二、数学认知水平分析框架在“梯形的面积”中的具体化

水平 1：计算―-操作性记忆水平。按照课本要求的程序或方法进行基本计算或对问题中的元素进行常规操作。这里指直接根据梯形面积计算公式求梯形面积或梯形物体表面面积的问题。

水平2：概念―-概念性记忆水平。考察学生对课本概念、规则、表达形式记忆的题目。比如考查学生对梯形面积计算公式的记忆，包括对“等底（上、下底的和）等高梯形面积相等”等知识点的记忆。

水平3：领会―-说明性理解水平。能理解概念、原理、法则和数学结构的内涵；涉及转化问题的不同形式，并比较、分析常规问题的不同变式；合理选择数学方法，灵活运用所学知识。这一层次的问题要求学生能较好地理解梯形面积计算公式的内涵，能灵活运用公式进行多角度的思考。如需要自主测量以求取梯形的面积；已知梯形面积和上、下底求高等。

水平4：分析―-探究性理解水平。能分析、创造性地解决没有接触的非常规问题，把分析过程综合起来、通盘考虑，对于问题的解决过程或方案可以做出价值判断。这里我们把练习中的归纳推理、开放性质的题目，均归于该水平。

三、三种教材习题设置比较

1. 习题类型及设置思想比较

这里的习题包括新课中的习题，也包括紧随新课之后的练习课的习题。其中北师大版教材把平行四边形、三角形和梯形的内容整合在一起练习，统计时只统计其中有关梯形的练习。一道题目里多次提问的，按1题统计，而对一道大题里有多道小题的，则按小题的数量进行统计。通过对人教版、北师大版和浙教版习题的比较发现：

1.1设置的习题类型基本相似，习题设置都以解决数学问题为背景的实际问题为主。

1.2习题设置的思想基础不同。三种教材在新课中利用学习平行四边形、三角形面积的推导方法进行迁移，不同的是北师大版突出梯形上下底之和等于转化后图形的底；浙教版通过图形与算式的结合来构建原梯形上、下底之和等于转化后图形的底。

2. 题目数量比较

三种教材习题数量的比较 表1

从上表的比较中可以明显的看出，人教版教材在教材习题设置的数量上和浙教版差不多，北师大版就明显要多；在新课中的练习设置上人教版习题设置最少，只有2题，只占总体数的15.4%，它把重点练习放在了练习课中；而浙教版和北师大版在新课中安排了相当份量的习题。

四、用数学认知水平分析框架比较题目

根据顾泠沅的数学认知水平分析框架，对三种教材中的“梯形面积”中习题进行了分类。

表2 三种教材“梯形面积”习题认知水平比较

五、从习题认知水平表得出的结论

从整体上看，三种教材习题设置偏重水平1、3，而对水平2、4习题设置均比较少。水平1：操作性记忆水平的题目在三种教材中所占比例相似，即三种教材的习题中和例题形式一样或非常相似的题目比较多，约占三分之一及以上。水平2：概念性记忆水平的题目较为少见，人教版占7.7%，浙教版占5.9%，而北师大版没有。把水平 1，2习题合计，人教版中记忆水平（较低认知水平）的习题占34.4%，北师大版中记忆水平的习题占54.5%，浙教版中记忆水平的习题占70.6%，三种教材中人教版中的记忆水平习题数最少，浙教版记忆水平习题数最多，比人教版多36.2%，是人教版的2倍。水平3：说明性理解水平的题目中，三种教材都比较侧重，都有相当的份量，说明其常规题目的比例也比较大；人教版的习题量超过了总题量的一半，说明人教版编委把水平3作为学生思维训练的重点，北师大版和浙教版比例比较适中。水平4：探究性理解水平的题目三种教材所占的比例都很小，其中浙教版没有设置，人教版和北师大版差不多。水平 3，4 题目合计，人教版教材理解水平（较高认知水平）的练习题占61.6%，北师大版占45.5%，浙教版占29.4%，人教版的比浙教版高了32.2%。综上所述，人教版习题设置偏重较高认知水平习题，而浙教版注重记忆水平的习题，北师大版教材对在各水平习题的设置上比较适中。

六、结论和建议

1.结论

从以上研究可以看到，在习题总量上，北师大版教材习题数量要比人教版和浙教版多，人教版最少，特别是新课中的习题人教版特少，北师大版就安排了相当比例的习题。从认知水平看，三种教材对水平1和水平3给予了充分的重视，说明直接应用公式的习题和常规习题的比例比较大。水平2和水平―4的习题安排的很少，这说明大家对概念记忆性知识和探究性高层次能力重视的不够。

2. 建议

由前面的结论，我们认为执教人教版教材需要做以下考虑：

2.1在重视面积计算公式在现实生活中的应用外，要增加记忆水平的习题数量。本人认为教材中记忆和模仿性练习的比重约为 50%，应该是对一个新的知识予以强化所必需的。

2.2增加水平4：探究性理解水平的习题。多给学生提供一些非常规问题、情景题、开放题等，使学生创造性解决问题，培养学生提出猜想、构造模型，一般化，数学推理等高水平认知能力。