时间：2022-10-06 09:03:18
解什么样的几何问题时,比较适合作辅助等边三角形呢？通过在解题实践中摸索,我认为：至少在以下四个方面是可以尝试作辅助等边三角形的．
1 在等腰三角形的基础上尝试作等边三角形
在已知的等腰三角形的基础上适时地作出辅助等边三角形,让图形的一般性与特殊性有机地结合起来,能够产生更多的线段相等、角相等,为我们解题所用．
例1 如图1,在ABC中,AB=AC=8,∠BAC=80°,P为ABC内一点,且∠PBC=10°,∠PCB=30°.求PB的长.
解法1 以等腰ABC的底边BC为边长作等边BCE(如图1),连接AE,则EABC,所以 ∠BEA=30°=∠BCP,∠ABE=60°-50°=10°=∠PBC,BE=BC,所以BAE≌BPC,所以 PB=AB=8．
解法2 以等腰ABC的腰AB为边长作等边ABF(如图2),连接CF,则ACF为等腰,∠CAF=80°-60°=20°,所以∠ACF=80°,∠BCF=80°-50°=30°=∠BCP,∠CBF=60°-50°=10°=∠PBC,所以BFC≌BPC,所以 PB=BF=AB=8．
解法3 以等腰的腰AC为边长作等边ACG(如图3),以下过程与解法二相同．
像这样的题比较特殊,在等腰ABC的基础上作辅助等边三角形,是“边边”有缘,殊途同归. 不过,在一般情况下,还是以方法一为宜,因为作与等腰三角形共底的等边三角形,可以充分应用“三线合一”的性质．
例2 如图4,在ABC中,∠BAC=∠BCA=44°,M为ABC内一点,使得∠MCA=30°,∠MAC=16°,求∠BMC的度数．
解 以AC为边长作等边ACE,连EB,则EBAC,∠AEB=∠CEB=30°．所以∠AEB=∠ACM,又∠EAB=60°-44°=16°=∠CAM,AE=AC,所以ABE≌AMCAB=AM
∠AMB=∠ABM=［180°-(44°-16°)］÷2=76°．因为∠AMC=180°-16°-30°=134°,所以∠BMC=360°-76°-134°=150°．
2 在60°的角的基础上尝试作辅助等边三角形
利用已知条件中60°的角尝试作辅助等边三角形,让图形中隐含的元素关系凸显出来,为我们解题所用．
例3 如图5,已知ABC是等边三角形,点D、E分别在边BC、BA的延长线上,且AE=BD.求证：CE=DE．
证明 延长BD至F,使BF=BE,连EF,则BEF(如图5)是等边,所以BE-AE=BF-BD,即AB=DF,所以BC=FD．
又∠B=∠F,BE=FE,所以BCE≌FDE,所以CE=DE．
还可以以BD为边长作辅助等边BDG,然后证ACE≌GED,从而得出CE=DE．
不管是哪种方法,都是在60°的∠B上做文章――作辅助等边三角形.
变式：如图6,已知ABC是等边三角形,点D在边BC上,点E地BA的延长线上,且AE=BD.结论CE=DE还成立吗？
例4 如图7,在六边形ABCDEF中,对角线AD、BE、CF相交于点O,且AD=BE=CF=2,∠AOB=∠COD=∠EOF=60°,S为AOB、COD、EOF面积的和,试比较S与3的大小．
分析 由于已知条件中出现了60°的角和相等的线段,于是,我们可以选取相等的线段长为边长,在一个60°角的基础上作辅助等边三角形,将没有直接联系的AOB、COD、EOF包含其中．
解 延长OA至M,使AM=DO,延长OB至N,使BN=EO,连MN,则OM=OA+AM=OA+DO=AD=2,同理ON=2,又∠AOB=60°,所以OMN是等边三角形,在MN上截取MQ=OC,连BQ、AQ,则NQ=MN-MQ=CF-OC=FO,所以MQA≌OCD,NQB≌OFE．
所以S=SAOB+SCOD+SEOF=SAOB+SMQA+SNQB
3 在已知的角与60°存在关联时尝试作辅助等边三角形
若已知角的度数分别与60°进行简单计算后其结果相等时,我们就可以在这样的已知角的基础上尝试作辅助等边三角形,产生新的角相等,线段相等,为我们解题所用.例如在直角中有15°或75°时,就有(90°-60°)÷2=15°或75°-60°=90°-75°=15°等．
例5 如图8,在等腰直角ABC中,∠BCE=∠CBE=15°,求证：AB=AE．
解法一 如果从已知角的度数出发,就可以在75°的∠ABE内作等边BEF(如图8),
连AF,证ABF≌BCE,再证ABF≌AEF,所以AB=AE.
解法二 如果从等腰BCE出发,就可以以BC为边作等边BCG,(如图9)连AG、EG,则GEBC,所以GE∥AB,
又∠ABE=∠BAG=75°，所以四边形ABEG是等腰梯形，所以AE=BG=AB．
例6 如图10,在四边形ABCD中,已知∠ABD=12°,∠DBC=36°,∠ACB=48°,∠ACD=24°.试求∠ADB的度数．
分析 从表面上看,本题已知角与60°的关联没有例5那样明显,但仔细观察后,不难发现;60°-∠ABD-∠CBD=∠ABD=12°,∠DCA+∠BCA-60°=60°-∠BCA=12°,即以BC为边长作辅助等边BCE,就可得到∠EBA=∠DBA=∠DCE=∠ACE=12°.这些等角可以帮助我们解决问题．
解 以BC为边长作等边BCE,连AE,因为∠CBA=∠DBA+∠DBC=∠ACB=48°,所以AB=AC , 所以EABC ,∠AEB=∠AEC=30°．
因为∠BDC=180°-∠DBC-∠BCA-∠ACD=72°,∠BCA+∠ACD=72°,所以BD=BC=BE．
因为∠EBA=60°-12°-36°=∠ABD=12°,所以DBA≌EBA,所以∠ADB=∠AEB=30°．
4 在求动线段最值时尝试作辅助等边三角形
在求有关动线段或者有关动线段的和差最值时,我们一般采用的是作对称辅助线方法,其实,也可以尝试作辅助等边三角形. 利用等边三角形的性质来传递等量,汇聚条件,求出最值. 如：
例7 已知:在ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边长作等边ABD, 如图11,当∠ACB变化时,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数．
解 以CD为边长作等边CDE(如图11)，连接AE,可证DAE≌DBCAE=BC,所以CE
此时∠BCD=∠AED=∠ACD=60°,所以∠ACB=120°．
因此当∠ACB=120°时,CD有最大值a+b ．
例8 已知点P是锐角ABC内一点,且使PA+PB+PC最小,试确定点P的位置,并证明你的结论．
解 分别以AC、BC为边长向形外作等边ACD、BCE,如图13,连接AE、BD相交于点P,则点P为所求．
事实上,易证ACE≌DCB∠CAE=∠CDB，所以A、P、C、D四点共圆∠APD=∠CPD=60°，在PD上截取PM=PA,连AM,则APM为正三角形,再证AMD≌APCMD=PC，所以PA+PB+PC=PM+PB+MD=BD(定值).
证明 在ABC内任取一点F(异于点P),如图14,连接FA、FB、FC,以AF为边长作等边AFG,连接GD,易证AGD≌AFCGD=FC，所以FA+FB+FC=FG+FB+GD>BD.因此,点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小.
著名的数学教育家G•波利亚在谈到解题方法时说：“使用过两次的巧计可以作为一种方法记下来.”前面举的例子足以说明‘作辅助等边三角形’是一种行之有效的解题方法,我们应该把它存储在脑海里,运用到解题中．
作者简介参见本刊2011年第6期第62页