矢量及其在中学物理中的相关应用

1矢量的前世

矢量的概念实际上根源于格式塔心理学对人的视知觉的研究.格式塔心理学建立在大量实证的基础之上，主要研究人的知觉，格式塔心理学认为，我们人类在感知环境时，总是倾向于在头脑中去填充信息的缺失，使其成为易于掌控的完整的图案和形态.

人们实施了这个完形过程后形成的图形就叫格式塔.格式塔（gestalt）是一个超越单个组成部分的感知整体.比如图1.A图中的完形结果是左面的两个圆是一组，而B图的完形结果是右面的两个圆是一组.通过那两个鼻子，三个图形的位置并没有变，我们改变了三个圆之间的“力”.

A图中左面两个圆之间的“引力”较大，让我们认为它们俩是一组.而B图中的两个小鼻子，为右面的两个圆形之间添加了一个更强大的吸引力，大过了左面两个圆之间的吸引力，我们觉得它们俩成了一组.

由于心理完形的存在，对图像的认识，人们就具有了共通的倾向性.这被格式塔心理学称为“力”.

在电影中，这种屏幕内的力引导观众实现从一点到另一点.这样的力具有方向和强度，被称为“矢量”.

实际上矢量不仅仅是一个图像的概念，在色彩、声音甚至叙事结构中，同样也存在矢量：矢量是任何经我们引向特定的空间、时间甚至情感方向的力.

矢量最早出现在物理学中，起起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边行法则、复数的几何表示和位置表示.

早在公元千50年前，古希腊学者亚里士多德在进行力学研究时发现，作用在物体同一点上的两个力，其实际效果不是两个力大小的简单相加，而是遵循平行四边行法则.

矢量回路：将平行四边形法则拓展到三角形法则，再拓展到多边形法则：AB+BB1+B1B2+…+BnC=AC，这最重要的一个特点就是关注初状态和最终状态，中间过程不影响等式的成立.

矢量起源得很早，但是发展很缓慢，从数学发展史来看，发现矢量平行四边形后的2000多年中，矢量理论几乎没有发展，直到公元1700年后复数的几何解释出现才改变了这一状况.在这两千多年中，虽然不少数学家都曾经使用过矢量的平行四边形法则解决问题，如海伦（Heron）、伽利略（galileo）、牛顿（Newton）等.

2矢量的概念

矢量（英语：Vector）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向的几何对象，直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段，也是因常常以箭头符号标示以区别于其它量而得名.线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向.

在物理学中，位移、速度、加速度、力、电场强度、磁感应强度、动量、磁矩、电流密度等，这些既有大小，又有方向的物理量是矢量.与矢量概念相对的是只有大小而没有方向的标量，如质量、时间、长度、密度、温度、动能、势能等.

在数学中，矢量也常称为向量，即有方向的量，并采用更为抽象的矢量空间（也称为线性空间）来定义.矢量对标量求导后结果为矢量，而标量对标量求导结果仍为标量.

3矢量的运算规则

（1）矢量相等

矢量a和b相等是只他们的有向线段长度相等（大小相等），方向相同，即|a|=|b|，且两有向线段在空间中相重合或平行.故a=b，表示|a|=|b|且ab，方向相同或重合.

（2）零矢量

当矢量大小为零时，就称为零矢量.显然，零矢量没有一定的方向或指向.物理上的零矢量意味该矢量不存在，引入它是为了运算上的方便.

（3）矢量的单位（或幺矢量）

当矢量的大小为长度1时，其矢量称为单位矢量.

（4）矢量与数相乘

当矢量a与正数λ相乘时，则新矢量记为λa或aλ，其大小为a的λ倍，指向与a相同；当矢量a与负数-λ相乘时，则新矢量记为-λa或-aλ，其大小为a的λ倍，指向与a相反.

（5）矢量的加减

矢量加法一般可用平行四边形法则.由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等.求两个矢量a与b之和，只需要由矢量a的终端作一个矢量b，则由a的始端到b的终端的有向线段即为这两个矢量之和.如果有n个矢量相加，无论相加的次序如何，若第一个矢量的始端与最后一个矢量的终端重合时，则这些矢量之和为零.

矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量.a-b=a+（-b）.

（6）矢量的分解

任意一个矢量都可以被正交分解到一个直角坐标系中（右手），且在坐标轴上的分量正好是这个矢量的投影.

（7）矢量的乘法

两个矢量相乘有两种形式：标量积和矢量积.

（1）标量积

矢量a和矢量b的乘积a・b，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标量积（或称为点乘积），它定义为矢量a的长度乘以b在a上的投影，式中的θ为矢量a与b之间的夹角.据此定义有：a・b=b・a.

相互成直角的两个矢量点乘时，其值为零.

例如物理学中的功、功率等的计算是采用两个矢量的标积：W=F・s，P=F・v.

（2）矢量积

矢量a和矢量b的乘积也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢量积（或称为叉乘积）.c=a×b.它的大小定义为|c|=|a|×|b|sinθ，其中θ为a和b之间的夹角，而c的方向定义为a转过一个小于π的角度抵达b时、按照右手螺旋方向，则大拇指的方向就是矢量c=a×b的方向.据此定义，显然有

a×b=-b×a.

|a×b|等于以a、b为邻边所构成的平行四边形的面积.

相互平行的的两个矢量叉乘时，其值为0，即ab时，a×b=0.

物理学中，力矩、洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积.M=r×F，F=qv×B.

物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关，矢量符号为表述物理定律提供了简单明了的形式，且使这些定律的推导简单化，因此矢量是学习物理学的有用工具.

4中学物理中的经典矢量运算

矢量运算的重要特点就是参与运算的这些矢量都具有方向性，计算时必须用矢量的运算方法，那就是平行四边形法则或者三角形法则.中学物理中涉及到的矢量运算的物理量主要有力、冲量、速度、加速度、动量等.涉及到的物理学规律有匀变速直线运动的规律、牛顿第二定律、动量定理和动量守恒定律.也就是说涉及到的这几个定理、定律、规律的方程都是矢量方程，使用时有方向的物理量必须把方向代入计算.对于不在同一直线上的矢量运算，可以直接利用前面介绍的矢量运算法则进行，也可以通过正交分解，把它们分解到互相垂直的两个方向上，然后规定正方向，与正方向同向者取为正值，反向者取为负值，然后再代入公式计算，这样就把矢量运算转变成代数运算，最后再根据计算结果的正负判断其方向.对于在同一直线上的矢量运算，自然省去了前面的正交分解的环节.现在举例说明.

4.1动量定理应用中的方向问题

例1蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目.一个质量为60 kg的运动员，从离水平网面3.2 m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0 m高处.已知运动员与网接触的时间为1.2 s.若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理，求此力的大小.（g=10 m/s2）

解将运动员看作质量为m的质点，从h1处下落，

刚接触网时速度的大小

v1=2gh1=8 m/s方向向下（1）

弹跳后到达的高度为h2，刚离网时速度的大小

v2=2gh2=10 m/s方向向上（2）

在运动员与蹦床接触过程中，运动员受到向上的弹力F和向下的重力mg，取向上的方向为正方向，应用动量定理

F・t+（-mg）・t=mv2-（-mv1），

得到F=mg+m（v1+v2）t=1.5×103 N.

答：网对运动员的作用力的大小为1.5×103 N.

4.2动量守恒定律应用中的方向问题

例2在粗糙的水平桌面上有两个静止的木块A和B，两者相距为d.现给A一初速度，使A与B发生弹性正碰，碰撞时间极短.当两木块都停止运动后，相距仍然为d.已知两木块与桌面之间的动摩擦因数均为μ，B的质量为A的2倍，重力加速度大小为g.求A的初速度的大小.

解析从碰撞时的能量和动量守恒入手，碰撞前后的运动过程运用动能定理求解.设在发生碰撞前的瞬间，木块A的速度大小为v；在碰撞后的瞬间，A和B的速度分别为v1和v2.以碰撞前木块A的速度方向为正.由能量和动量守恒定律，得

12mv2=12mv21+12（2m）v22（1）

mv=mv1+（2m）v2（2）

由（1）、（2）式得v1=-v22（3）

碰后v2方向一定与v相同，v1为负表示方向与v方向相反.

再由动能定理得v0=285μgd.

说明牛顿定律、动量定理与动量守恒定律方程都是矢量方程，应用时一定要确定各个矢量的方向，一维（同一直线）情况下，通常都需要首先选择一个正方向，确定各个物理量的正负然后代入公式求解.动能定理、能量守恒定律方程是标量方程，不需要选择正方向，但是需要确定好功的正负.

5矢量的今生

5.1矢量图――计算机术语

矢量图是计算机用语.计算机中显示的图形一般可以分为两大类――矢量图和位图.矢量图使用直线和曲线来描述图形，这些图形的元素是一些点、线、矩形、多边形、圆和弧线等等，它们都是通过数学公式计算获得的.例如一幅花的矢量图形实际上是由线段形成外框轮廓，由外框的颜色以及外框所封闭的颜色决定花显示出的颜色.由于矢量图形可通过公式计算获得，所以矢量图形文件体积一般较小.矢量图形最大的优点是无论放大、缩小或旋转等不会失真；最大的缺点是难以表现色彩层次丰富的逼真图像效果.Adobe公司的Illustrator、Corel公司的CorelDRAW是众多矢量图形设计软件中的佼佼者，大名鼎鼎的Flash MX制作的动画也是矢量图形动画.

简单地说矢量图就是理论上可以无限放大且不会失真的图，因为矢量图的每一点都有自己的属性；位图由于受到像素的限制，因此放大后会失真模糊，甚至完全看不清楚了.因此矢量图在工程设计、工艺设计等诸多领域发挥着越来越大的作用.

5.2矢量发动机

矢量发动机通俗说就是喷口可以向不同方向转动以产生不同方向加速度的发动机.采用推力矢量技术的飞机，是通过喷管偏转，利用发动机产生的推力，获得多余的控制力矩，实现飞机姿态的更大范围的控制，其突出特点是控制力矩与发动机紧密相关，而不受飞机本身姿态影响；未采用推力矢量技术的飞机，发动机的喷流（气）都是与飞机的轴线重合的，产生的推力也沿轴线向前，这种情况下发动机的推力只是用于克服飞机所受到的阻力，提供飞机加速的动力.因此，可以在飞机做低速、大攻角机动飞行而操纵舵几近失效时利用推力矢量提供的额外操纵力矩来控飞机机动.目前世界上只有美国和俄罗斯掌握了这一技术，F-22和Su-35就是装备了这一技术的各自最目前最尖端机种.我国也展开了对推力矢量技术的预先研究，并取得了一定的成果，相信在不远的将来，我们的飞机也能够装备上这一先进技术翱翔蓝天，增强我国的国防实力.