时间：2022-10-06 05:02:34
【摘要】一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.本文重点是用正弦定理和余弦定理来解三角形.
【关键词】解三角形；正弦定理；余弦定理
以下均设ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
一、三角形有解无解，有一解还是两解
例1 在ABC中，已知a=2，b=2，A=30°，则角B有（ ）.
A.无解 B.一解 C.两解 D.无数解
解 由正弦定理，得 asinA=bsinB，即2sin30°=2sinB，sinB=22，又0°
例2 （2015北京文科）在ABC中，a=3，b=6，A=2π3，则B=.
解 由正弦定理，得asinA=bsinB，即332=6sinB，所以sinB=22，所以B=π4.
说明 已知ABC的边a，b和角A.
（1）若A为锐角时：
a
（2）若A为直角或钝角时：a≤b，无解；a>b，一解（锐角）.
二、判断三角形的形状
判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状（角化边）.
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状（边化角）.
例3 根据所给条件，判断ABC的形状.
（1）acosA=bcosB；（2）acosA=bcosB=ccosC.
选题意图 本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.
解 （1）解法一 （角化边）由余弦定理得：
acosA=bcosBa・b2+c2-a22bc=b・a2+b2-c22aca2c2-a4-b2c2+b4=0，
（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，a2-b2=0或c2-a2-b2=0，a=b或c2=a2+b2，
ABC是等腰三角形或直角三角形.
解法二 （边化角）利用正弦定理进行边角转化.
（2）由正弦定理得：a=csinAsinC，b=csinBsinC代入已知等式：
csinAcosAsinC=csinBcosBsinC=ccosC，sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC.
即tanA=tanB=tanC.
A，B，C∈（0，π），A=B=C.
ABC为等边三角形.
说明 根据已知条件，适当选取使用的定理，也是应该在解题中注意的问题.
例4 （2013陕西文科）设ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（ ）.
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.不确定
解 bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理得
sinBcosC+sinCcosB=sin2A，所以sin（B+C）=sinA，sinA=sin2A，sinA=1.
ABC是直角三角形.
三、求解三角形