也谈如何确定并突出教材中的重点和难点

教学重、难点的确定是教师进行教学设计时必须面对和进行的工作，而能否正确的确定教学的重、难点是高效率数学教学的前提，是提高数学课堂教学质量的重要保障和关键。近年来，根据笔者多年的教学经验，谈谈一点浅见。

一、重、难点的理解

（一）教学重点的理解

教学重点是指教学中的重点内容，是课堂教学中需要解决的主要矛盾，是教学的重心所在。重点的界定与三维目标的界定基本保持一致：从知识系统上看，重点应是指那些与前面知识联系紧密，对后续学习具有重大影响的知识、技能；从文化教育功能上看，重点应是指那些对学生有深远教育意义和功能的内容，主要是指对学生终身受益的思想、精神和方法；从学生的学习需要上看，重点应是指学生学习遇到困难需要及时得到帮助解决的疑难问题。简称为知识重点、育人重点和问题重点。

（二）教学难点的理解

教学难点是指那些太抽象、离学生生活实际太远的、过程太复杂的、学生难于理解和掌握的知识、技能与方法。难点的界定可以从以下几个角度来看：一是该知识远离学生的生活实际，缺乏感性认识；二是该知识较为抽象，学生难于理解；三是该知识包含多个知识点，知识点过于集中；四是该知识与旧知识联系不大，多数学生对与之联系的旧知识遗忘。

因此，对教学重难点的清楚理解，能为今后在确定重点和难点时，提供一个很好的依据。

二、以“双曲线的简单几何性质”为例

（一）教材分析

1.教材中的地位及作用

本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

2.教学目标的确定及依据

平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。

（1）知识目标：

①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；

②掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；

③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）能力目标：

①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；

②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）情感目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。

3.重点、难点的确定及依据

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现及接受、理解和掌握其证明方法都有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。

4. 教学方法

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，同时也有利于建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念特征，培养思维的深刻性。

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

（二）教学程序

（三）教学流程

1. 复习引入

我们已经学习过椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体结合图像进行演示。

2.观察、类比

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中采用类比的方法，让学生自己探究。首先观察双曲线的形状，试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。学生一般能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只会看图，也要会从方程的角度来解释，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线的简单几何性质范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率的巩固。之后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别，这样可以加强新旧知识的联系，借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。

3. 双曲线的渐近线的发现、证明

（1）发现

由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，如何较准确地画出双曲线的图形？通过几何画板演示，光有范围、顶点、对称性这几个性质是不能描述的。

接下来让学生猜想双曲线有何特征？由于双曲线的对称性，我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。对于“随着的增大，双曲线逐渐趋于直线”这一问题是难点，我采用借助于几何画板的绘图功能，将双曲线在第一象限的右支进行延长，让学生初步感知渐近线的存在，从而达到克服难点的目的。接着再引导学生从方程上进行分析：方程（第一象限）。对于“当无限增大，可忽略不计”这一问题，又是一个难点，为了突破这一难点，这里设计了现实生活中“捐款”的实例以帮助学生更好理解，同时潜移默化地渗透了方程的思想和极限的思想。进一步地，提出问题“在确定的情况下，对于与，它们的y值哪个更大？”从而说明了曲线一定在直线的下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线（a>0，b>0）的图形在远处与直线无限接近，直线叫做双曲线（a>0，b>0）的渐近线。

【评析】将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，从已有知识出发，层层设疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念特征，能培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。

（2）证明

如何证明直线是双曲线（a>0，b>0）的渐近线呢？

启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言？（x∞，d0）

启发思考②：锁定第一象限后，具体地怎样利用x表示d

（工具是什么：点到直线的距离公式）

启发思考③：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化？

分析：要证明直线是双曲线（a>0，b>0）的渐近线，即要证明随着x的增大，直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离

|MQ|越来越短，因此把问题转化为计算|MQ|。但因|MQ|不好直接求得，因此又可以把问题转化为求|MN|。

启发思考④：这样证明后，还须交代什么？

（在其他象限，同理可证，或由对称性可知有相似情况）

【评析】引导学生层层深入的进行探究，从而更深刻的理解双曲线的渐近线的发现及证明过程，有效地突出了重点也突破了这一难点。

（3）深化

再来研究实轴在y轴上的双曲线（a>0，b>0）的渐近线方程就会变得容易很多，此时可利用类比的方法或者利用对称性得到焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程即为。以及双曲线的渐近线另一种简单求法，即将方程中的1变成0，化简即可，这里并不做深入的探究。

【评析】这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确的画出双曲线。但是如果仔细观察渐近线实质就是双曲线过实轴端点、虚轴端点，作平行与坐标轴的直线所成的矩形的两条对角线，数形结合，来加强对双曲线的渐近线的理解。

4. 离心率的几何意义

椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，双曲线离心率有何几何意义呢？不难得到：，这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。

由等式，可得：，不难发现：e越小（越接近于1），就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，就越大，双曲线开口越大。

【评析】双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形，这一过程突出了这一重点。

5. 例题分析

为突出本节内容，使学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题：

例1.求双曲线9x2-16y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。

【选题意图】在拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式，要先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。本题求渐近线的方程的方法：（1）直接根据渐近线方程写出；（2）利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。加强对于双曲线的渐近线的应用和理解。

变1：求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。

【选题意图】和上题相同先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量；但求渐近线时可直接求出，也可以利用对称性来求解。

变2：已知双曲线的渐近线方程是，且经过点（15/4，3），求双曲线的标准方程。

【选题意图】在已知双曲线的渐近线的前提下，如何利用已知信息求解双曲线的方程。方法1：分焦点在x轴，焦点在y轴分别求解；方法2：确定点所在的区域，定方程的形式，然后求a、b。深化知识，加强应用，使知识系统化。

【评析】例题的选备采用一题多变（变条件，变结论）的方法，训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力，巩固所学知识，突破本课重难点。

三、小结

总之，正确确定重点和难点，尤其是合理选择和灵活运用各种行之有效的方法去突出重点和突破难点，不仅是确保教学效果和质量的关键，而且是衡量一个教师的教学态度是否端正，教学责任心和教学能力强弱以及教学水平高低的重要标志，是教师必须具备的基本技能和基本功。因此，在数学教学中，我们要善观察、巧设计，化难为易，方法灵活地确定教学的重难点。