小船渡河问题的剖析和应用

小船渡河问题中的三个重要关系：

（1）运动关系：小船在有一定流速的河水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对于水的运动（即在静水中船的运动），船的实际运动是合运动.

（2）时间关系：①合运动和分运动的等时性；②当船头与河岸垂直时，渡河时间最短.

（3）位移关系：①合运动和分运动的位移等效关系；②理解在什么情况下位移最小.

一、小船渡河问题剖析

例1 一艘小船在宽为d的河中横渡到对岸，已知水流速度是v水，小船在静水中的速度是v船，求：

（1）欲使渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？

（2）欲使渡河位移最短，船应该怎样渡河？最短位移多大？

【分析】小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，船的实际运动是合运动.但是在现实运动中由于船头方向的不确定性，使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定，从而导致小船渡河问题的复杂化，加深了学生理解的难度.题目分两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速.涉及两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间

（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代.

二、小船渡河问题拓展应用

例2 北风速度4m/s，大河中的水流正以3 m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大？什么方向？

【分析】本题研究对象有北风、水流、乘客、烟；“烟柱是竖直的”说明人感觉不到风，那么轮船应该与风同速航行.轮船的实际航向正南，大小为4m/s，由于河水流动，轮船应该有一个分速度：大小与v水相等，方向与V水相反，这样轮船才会朝正南方向行驶，如图3所示.

【方法小结】

在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度，合速度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动确定，分速度由合速度的效果利用平行四边形定则确定.如图6所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高.问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多大？重物M的速度v的方向是合运动的速度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v'运动，由图可知，v'=v.cos θ，即为小车的速度.