分段函数初探

（三门峡实验高中 河南 三门峡 472000）

摘要：本文就分段函数在高中数学中的应用做了初步的探究。

关键词：分段函数；求值；解析式；最值；奇偶性；单调性；方程；不等式

【中图分类号】G623.5

高中数学新课标人教必修一课本提到了分段函数，但并没有明确给出定义，学生对其认知不够深入，而在近几年高考中分段函数屡屡出现，有的试题还有一定难度。本文就分段函数相关问题作一探讨，供大家参考。

所谓分段函数，即在定义域内不同部分上，有不同的对应法则；它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集.

一、 分段函数的求值问题

分段函数求值关键是搞清楚自变量取值范围，然后代入到对应的解析式求值即可。

例1、（2009山东卷）定义在R上的函数f（x）满足f（x）= ，则f（3）的值为（）

A. B. C.1 D.2

解：f（3）=f（2）—f（1）=[f（1）—f（0）]—[f（0）—f（—1）]

=f（1）—2f（0）+f（—1）=[f（0）—f（—1）]—2f（0）+f（—1）

=—f（0）=—log24=—2

二、 分段函数的解析式问题

求分段函数的解析式问题，关键是利用函数的奇偶性等性质然后根据所给的定义域等条件来求得另外部分定义域的解析式。

例2、已知奇函数f（x）（x∈R），当x>0时，f（x）=x（5—x）+1.求f（x）在R上的表达式。

解 f（x）是定义域在R上的奇函数，f（0）=0.

又当x0，

故有f（—x）=—x[5—（—x）]+1=—x（5+x）+1。

再由f（x）是奇函数，当x

三、 分段函数的最值（值域）问题

分段函数的值域是各段函数值域的并集，其最值是各段函数最值的交集。

例3、 求函数 的最大值

方法1 先求每个 分段区间上的最值，后比较求值。

当x≤0时，y=f（x）=2x+3，此时显然有ymaX=f（0）=3；

当0

当 x>1时，y= f（x）=—x+5，此时y无最大值.比较可得当x=1时，ymax=4.

方法2利用函数的单调性

由函数解析式可知，f（x）在x∈（∞，0）上是单调递增的，在x∈（0，1）上也是递增的，而在x∈（1，+∞）上是递减的，

由f（x）的连续性可知f（x）当x=1时有最大 值4

方法3 利用图像，数形结合求得

作函数y= f（x）的图像（图1），

显然当x=1时ymax=4.

说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.

四、 分段函数的单调性问题

考虑分段函数的单调性应该是研究每一段的单调性，然后在考虑在整个定义域内的单调性（注意函数的连续性）。

例4、若 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为。

分析：函数f（x）在R上单调递增，则函数f（x）在每一段都是增函数，并且在x>1时的取值不小于x≤1时的取值。

解：函数f（x）在x≤1时单调递增，则 ，即a1时单调递增则a>1；由函数f（x）在R上单调递增，所以 ，得a≥4，综上4≤a

五、 分段函数的奇偶性问题

判断分段函数的奇偶性问题，必须判断每一段上f（—x）和f（x）的关系。

例5、已知函数 ，试判断其奇偶性。

解：当x>0时，—x

当x0，f（—x）=（—x）2+5（—x）+1=—x2—5x+1=—f（x）

当x=0时，f（0）=0

综上，函数f（x）是奇函数。

六、 分段函数的周期性问题

例6、（2009年高考山东卷理科）定义在R上的函数f（x）满足 ，则f（2009）的值为

（A）—1 （B）0 （C）1 （D）2

解：由已知得f（—1）=lgo22=1，f（0）=0，f（1）=f（0）—f（—1）=—1，

f（2）=f（1）—f（0）=—1，f（3）=f（2）—f（1）=—1—（—1）=0，

f（4）=f（3）—f（2）=0—（—1）=1，f（5）=f（4）—f（3）=1，f（6）=f（5）—f（4）=0，

所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现，所以f（2009）=f（5）=1，故选C.

【说明】本题作为命题看似考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算，但本质是考查分段函数的周期性，利用的方法是枚举去寻找规律。

七、分段函数与方程问题

例7、（2011北京理科）已知函数 若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是

【解析】画出函数y= f（x）图像（注意f（x）在x

【说明】（1）分段函数是一个函数，只有一个图像，作图时只能在同一坐标系中，而不能将各段函数分别作在不同的坐标系中。

（2）分段函数的定义域有几段，其图像就由几条曲线组成，作图时要注意每段的自变量的取值范围，特别是不连续的函数的图像每段端点的虚实。

八、 分段函数与不等式问题

（2010天津理数）若函数f（x）= ，若f（a）>f（—a），则实数a的取值范围是

（A）（—1，0）∪（0，1） （B）（—∞，—1）∪（1，+∞）

（C）（—1，0）∪（1，+∞） （D）（—∞，—1）∪（0，1）

【解析】本题主要考查对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。

f（a）>f（—a） 或 a>1或—1

总之，分段函数的试题，近些年在高考中出现的频率比较高，如2012年新课标、辽宁理科和江西理科等都有此类问题，限于篇幅，此不赘述。

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1

[2]五年高考三年模拟（2012）