平方不是万能的

提问: 利用两角和的余弦公式推导两角和的正弦公式时,我用了同角正余弦的平方关系:

sin2(α+β)=1-cos2(α+β)=1-(cosαcosβ-sinαsinβ)2=sin2α+cos2α-cos2α•cos2β+2cosαcosβsinαsinβ-sin2αsin2β=(cos2α-cos2αcos2β)+2cosαcosβsinαsinβ+(sin2α-sin2αsin2β)=cos2αsin2β+2cosαcosβsinαsinβ+sin2αcos2β=(cosαsinβ+sinα•cosβ)2,sin(α+β)=±(sinαcosβ+cosαsinβ).

请问如何排除取负号的情况?

回答: 整个推导过程,我们没有发现任何错误,甚至结论sin(α+β)=

±(sinαcosβ+cosαsinβ) (①)也是正确的. 同学们可能会疑惑,不是sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ吗?那为什么说①式是正确的呢?如果从命题的角度来理解,大家就不会有疑问了.因为①式是个“或”命题,“或”命题的特点是“有真必真”,只要sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ与sin(α+β)=-(sinαcosβ+cosαsinβ)中有一个为真,①式就是成立的.那么取负号的情况该如何排除呢?

我们来看个简单的例子. 一元一次方程x=3的解是x=3,假如为求解这个方程,我们先把方程两边平方,得到x2=9,那么解得方程的根为x=±3. 由此可知,方程x=3在平方前和平方后的解是不一样的. 能不能把x=-3的情况排除掉呢?很遗憾,做不到. 同样道理,①式中的负号情况也是无法排除的.我想读到这里,聪明的你可能已经知道原因是什么了. 对!是平方在作怪. 平方会扩大参数或者算式的取值范围,而一旦取值范围被扩大了,要再把它缩小为原来的范围就很困难,有时候甚至是不可能的.因此,像问题中用平方法来推导两角和的正弦公式是行不通的,或者说这个方法在这里是不可取的.

但是,我们不能由此偏废“平方法”,恰当地使用“平方法”,有时候非常有利于问题的解决. 例如“若cosα+2sinα=- (②),求tanα的值”,这个问题的解法非常多,其中有一种解法就是“平方法”:设sinα-2cosα=x(③),由②2+③2可求得x=0, tanα=2. 由此可见,在解决数学问题时,要选择恰当的方法.只有方法适合问题了,才有助于问题的解决.

提问: 我碰到一个题目:“已知a>0,b>0,a+b=1;求a+ 2+b+ 2的最小值.”请问,下面的解法为什么是错的?

“解: a+ 2+b+ 2=a2+b2+ + +4≥2ab+ +4≥2 +4=8, a+ 2+b+ 2的最小值为8.”

回答: 用基本不等式求最值时要注意等号成立的条件.上述解答中,两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是a=b= ,而第二次等号成立的条件是ab= ,显然这两个条件不能同时满足.因此,8不是a+ 2+b+ 2的最小值.

正确解法是: a+ 2+b+ 2=a2+b2+ + +4=(a+b)2-2ab+ + 2- +4=1-2ab+ +4=(1-2ab)1+ +4. ab≤ 2= , 1-2ab≥ ,1+ ≥17, a+ 2+b+ 2=(1-2ab)•1+ +4≥ ×17+4= (当且仅当a=b= 时等号成立), a+ 2+b+ 2的最小值为 .