“震撼”的动感地带――旋转

在数学学习中，我们常用到数学变换――平移、旋转或翻折（对称），数学的运动变换给人以“动感”的美，堪称数学中的“动感地带”。数学变换的运用，正体现了数学思维方法的生动活泼性及灵活多样性。

下面仅就旋转变换，结合实例和大家共同体验“旋转”所带给我们的动感吧！

例1：如图所示，ABC为等边三角形，点P为正三角形内一点，且AP=3，BP=4，CP=5，求ABC的边长是多少？

分析与思考：结合ABC为正三角形及AP=3，BP=4，CP=5的特殊性（3，4，5为勾股数）考虑到利用旋转变换，进行转化。

1.将APB绕点A逆时针旋转60°，得ADC，则可以判定APD为等边三角形。则PD=3，再注意到PDC中，PD=3，DC=PB=4，PC=5，则由此判定PDC为直角三角形，∠PDC=90°，所以 并且等边三角形APD的面积可求，因为其边长PD=PA=AD=3所以： 。

2.将CPA绕点C逆时针旋转60°，得CEB，则可判定

PCE为等边三角形，且边长PE=5，观察PBE中，PB=4，BE=AP=3，又PE=5，所以由此判定PBE为直角三角形。其中∠PBE=90°，所以 且等边三角形PEC面积为： 。

3.同理，将BPC绕点B逆时针旋转60°，得BFA。则可判定BPF为等边三角形，且边长PF=4，观察APF

这里我们通过旋转，巧妙的运用了旋转后所得到的特殊图形的“面积”及其它们之间的关系，顺利的解决了此处的问题。当然，我们还有更为简捷的方法解决这里的问题。等到今后的更高的年级里我们再进一步学习“余弦定理”之后，我们就可以利用“余弦定理”轻松地加以解决了。

下面我们再看一例。

例2：如图，ABC为等边三角形，点P在ABC内部，∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7，则以AP、BP、

CP为边的三角形的三个内角各为多少？

分析与思考：显然∠APB、∠BPC、

∠CPA均可求出，因为∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，且∠APB：∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7。所以∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°。考虑利用旋转，将PA、PB、PC三边集中到同一个三角形中去，将APB绕点A逆时针旋转60°，得ADC。则可以判定APD为等边三角形。于是AP=PD，且DC=PB，此时在PDC中的三个内角即为题中所要求的三个内角。

显然：∠DPC=∠APC-∠ADP=140°-60°=80°。且∠PDC=∠ADC-∠ADP=∠APB-∠ADP=100°-60°=40°，所以：∠PDC=180°-∠DPC-∠PDC=180°-80°-40°=60°。这样以AP，BP，CP为三边的三角形各内角分别为：40°、60°、80°。

例3：最后，再来看一个利用旋转变换求1到n的连续n个自然数的平方和的精彩的例子。

如图（图①中）将1、2、3、……n作正三角形排列，排列的规则是：第k行的共k个位置上的所有数均为k，显然第k行所有数的和为k2，这样所有的第一到第n行的所有数的和应为S平方和=12+22+32+……+k2+……n2。

下面我们探求如何求出S平方和。

将图①绕正三角形的中心逆时针旋转120°得图②，再将图②绕中心逆时针旋转120°得图③。

现在将图①、图②、图③三个正三角形再加以叠合，则叠合后对应的三个数的和为（2n+1），显然这样的“和”共有个，因此所有的数字的和应为： ，而另一方面所有的这些数字的和又可表示为：3（12+22+32+……+n2），比较上述的关系，我们自然得到以下关系式：3S平方和= 。所以可得：S平方和= 。

利用此式可以很便捷地求出1到n的连续n个数的平方和。如求12+22+32+……+502，则n=50，将n=50代入S平方和中可得：S平方和=12+22+32+……+502=

经历如此“旋转”变换，难道不是很有趣也很精彩吗？