小学儿童算术估算能力的发展

摘要：本研究深入考察了我国现阶段小学儿童算术估算能力的发展状况。通过运用自编材料对1027名儿童的团体与个别测试，发现其估算能力的发展具有如下特点：(1)明显受到题目类型的影响，但在不同年龄阶段影响又不尽相同。(2)三年级可能是整数和小数估算能力发展的一个关键期，五年级是发展分数估算能力的较好时期。(3)不同估算策略的发展进程差别相当大，不同时期都有发展的侧重点。(4)小学儿童在估算时易发生多种错误，而且不同年级均有一些典型错误。另外研究还对儿童估算能力、策略与错误类型的发展进行了深入讨论。

关键词：小学儿童，估算能力，策略，错误类型。　分类号B844.1

1　问题的提出

随着科技的进步，现代计算工具日益普及。它们改变了人们计算的方式与观念。估算能力已成为衡量个体数学计算能力高低的一个重要标准。估算(computational estimation)是指个体懂得什么情况宜于估计而不必作准确计算，并会灵活使用。它被广泛应用于现代社会生活的许多方面，如生产、科研、投资等等。它是个体未经精确计算而只借助原有知识对数学问题提出粗略答案的一种估计形式，是数概念、心算和算术计算技巧之间相互作用的过程。估算能力已成为当前国际数学教育改革中相当重视的一种基本数学能力。目前学者们大多认为估算是个体数学认知的重要方面，它提供了关于人们对数学概念、关系和策略的一般理解和儿童在数学领域的认知发展等方面的信息。

目前仅有少数学者对估算能力的早期发生发展问题进行了一些初步考察。Baroody最早发现即使幼儿园儿童(约5岁)也会使用几种反映其不完整算术知识的原始估算策略。最近Dunphy也发现少数4岁幼儿已具有较清晰的估算意识，能够理解近似与计数之间的区别。Dowker在研究5－9岁儿童所运用的估算策略时，发现儿童在略高于自身水平的估计问题上经常使用恰当策略，但不是在更难的任务上。Sowder和Wheeler要求二至十年级的学生完成估算任务。结果显示能完成问题的学生的百分比随着年级水平的提高而上升，而且在六年级之前，学生只有很少的估算技能。他们随后又考察了同估算有直接关系的概念与加工过程理解状况的发展，发现在儿童接受使用近似数字(通过取整来得到的)以找到估计值的意愿上，其年级水平的变化很小。直到九年级时，学生才开始尝试在较为困难的任务中使用补偿方式。Dowker则发现儿童对估算策略的运用质量会随着其算术能力的提高而有所改进。而国内台湾学者的一项最新研究显示，即使是初一学生也大多倾向于使用传统的计算法则来解决估算题，而很少使用估算策略，其估算表现也明显受到有无提供实际情境的限制。另一项大陆地区调查结果也显示，目前我国中小学生对估算概念的理解还普遍相当肤浅，估算意识比较单薄，但能自发地使用多种估算策略，这与对小学六年级儿童估算水平的研究结论基本吻合。最近国外有学者通过个案访谈对中学生估算时的思维历程进行了剖析，根据个体所使用的估计策略类别和Case的认知发展理论提出可以按层次区分出四种发展水平：(1)前维度水平；(2)单维度水平；(3)双维水平；(4)整合的双维水平。

虽然国内外学者对个体的估算能力发展问题已有所涉及，但并未阐释清楚小学阶段儿童的估算能力到底是如何发展的，其估算策略是如何影响其估算表现的，估算过程中儿童的认知加工是否存在典型缺陷。值得注意的是，所用研究方法的不同是导致当前对估算能力发展问题存在争议的重要原因。本研究旨在通过运用较为通用的认知测验法辅以口语报告技术来揭示小学儿童估算能力的发展进程及其发展缺陷，理清估算策略和典型估算错误操作对儿童估算表现产生的具体影响。

2　研究方法

2.1　被试

首先从重庆市三所小学各年级整群抽取887名学生(男生445名，女生442名)作为集体测试被试，再从另外一所小学各年级随机抽取个别测试被试140名(男生68人，女生72人)。被试抽样情况见表1。

2.2　材料

根据现行数学课程标准的要求，采用作者自行设计的测验题目。各类估算题目数量为：整数加减法各为6道题、整数乘除法各为2道题、小数和分数的四则运算题各为2道，共计32道题。仅以本研究所用整数加法题为例，题目涉及的数字范围为：100以内的两位数+两位数题目为2道；1000以内的三位数+三位数题目为2道：10000以内的三位数+三位数两步连加题为2道。

2.3　程序

采用团体和个别测试相结合的方法。两部分被试使用同样题目作为材料。团体测试和个别测试都由经过培训的主试实施。个别测试时先给被试说明实验要求：“尽快说出算式大概等于多少，然后再尽可能详细说明理由”。再由主试呈现1道示范练习题目。示范先给出估计答案，再说出理由。然后呈现1道独立练习题，让被试自己估算答案并说明理由。待被试完全掌握实验要求后，才开始正式实验。每次只呈现1道题目，事先将题目顺序打乱由主试随机呈现。主试记录被试的答案、答题时间(从呈现问题到说出答案)和理由。在被试进行口语报告时继续呈现该题目以减轻其记忆负担，提高口头报告的完整性。团体测试的顺序同个别测试相同。都是先讲实验要求再呈现练习题，然后让被试对所有估算测题进行笔答，限定总的笔答时间(事先已另随机抽取4名六年级学生经小规模预测确定为5分钟)，不要求说出理由，亦不计时。团体测试可以短时间内采集大量被试的估算表现指标(即答案)，有利于比较其估算准确性的相对高低。个别测试既可得到被试估算行为表现指标。还可获取其反应时间指标和口语报告，便于分析其内在的认知加工操作。团体测试与个别测试相结合才能更好地实现对个体认知操作结果与过程的综合分析。

2.4　评分标准与数据处理

由于估计要求的特点，估算本身不存在唯一正确的答案，而是存在相对合理的答案集。根据国外已有研究，本文以精确答案的上下30％为估算答案的合理区间。如48×71。其合理估算答案的上限应为3408×(1+30％)=4430.9，下限应为3408×70％=2285.6。凡在区间[2285.6，4430.9]内的估计值都应视为合理估算答案，但精确答案例外(因为它无法排除被试通过回忆已经掌握的基本数学事实或进行精确计算来得到答案的可能性)。本研究使用国外研究者认同的计分方式计算估算能力的得分。在精确答案10％之内的答案计3分，20％－10％之间的答案计2分，30％－20％之间的答案计1分。精确答案和30％之外的答案均计0分。被试的估算成绩计算方式为每题的得分之和除以所完成题目数。数据采用SPSS10.0进行处理。

2.5　策略编码

策略编码同已有研究保持一致。依据被试口

头报告，将其所用策略归纳为以下13种：(1)粗略心算；(2)结果凑整；(3)取整；(4)截取；(5)调整并修饰结果；(6)忽略尾数；(7)改变数位；(8)将小数调整为易解决小数；(9)采用共同分母；(10)看作单位数1；(11)将分数化为易处理小数；(12)加减分子分母；(13)调整为易处理分数。其中，将(2)、(5)、(6)、(9)、(10)5种策略视为高效率策略，而其它8种则为低效率策略。所有口语报告先由研究者本人进行策略编码，再由其他两名独立评分者根据研究者提出的分类标准对策略反应进行分类。结果一致率为87％。

2.6　错误类型编码

根据被试口语报告和所给答案，将错误分为8种类型：(1)盲目猜测错误。个体对自己给出的估算值不能给出理由或报告说“凭直觉”或“乱猜的”。(2)运算规则执行错误。个体不能正确使用计算规则来完成对数字的操作。(3)小数点位置错误。个体在解决小数题时。将答案中的小数点忽略或放在了错误的位置。(4)看错运算符号。个体在估算时由于匆忙将运算符号记错而导致答案不合理。(5)计算精确答案，个体试图计算问题的精确答案。(6)位数错误。个体不能根据问题中数字的位数给出答案数字的正确位数。(7)数字调整量过多。个体在对数字进行转换时，丢失的数量过多导致答案超出合理范围。(8)错误使用单位数“1”。个体在解决小数或分数题时，在没有判断数字真实大小的情况下将小数或分数约等于l以降低估算的难度。先由研究者根据个体的口语报告和答案拟订出估算错误类型的编码标准，再由另外两名评分者随机分层抽取60名被试的资料进行独立评分，结果一致率是95％。

3　结果与分析

3.1　估算成绩

表2给出了被试解决不同类型估算问题的平均分与标准差。对小学儿童在不同题型上的表现差异进行了配对t检验，对不同年级在同一类型题目上成绩的发展状况进行了ANOVA检验，结果一并列入表2中。

从表2中可以看出。在整个小学阶段，儿童在不同题型上的估算能力有着明显差别。从平均成绩来看，整数题明显好于小数题和分数题，而小数题又明显好于分数题。这说明从整体上讲。分数估算对小学生来说是最难的，而且出现的问题也最多。在不同年龄阶段，这种状况又不尽相同。一年级学生基本都不会进行分数运算。但在整数和小数题上表现还基本可以，而且小数估算成绩还明显强于整数。到了二、三年级，其整数估算能力明显超过了分数估算能力的发展速度。从四年级开始，他们的小数估算能力也随之明显提高。到了小学五、六年级。他们的估算能力也就呈现出了整数明显好于小数也好于分数的趋势。

方差分析结果表明，被试在同一类型题目上的表现都达到了极为显著的差异水平。因此对各个年级在同一类型题目上的表现又进行了Duncan平均数多重比较(见图1)。

结果发现，在整数估算能力上，一、二年级之间和四、五、六年级之间没有明显差异，而他们同其他年级之间都有非常显著的差异。在小数估算上，二年级成绩最低。其次是一、三年级，四、五、六年级的成绩都明显高于其他年级。但三者之间却没有显著差异。这表明三年级可能是整数、小数估算能力发展的一个关键期。在分数估算能力上，一到五年级之间都没有显著差异。只是六年级同其它各个年级之间都出现了极为显著的差异。从图1可以看到，此时六年级的分数估算能力有了一个快速提高。这表明在这一时期个体的分数估算能力出现了质的飞跃。

3.2　估算时的策略运用

表3中给出了不同年级儿童在不同类型估算问题中所使用的估算策略的分布状况(由于儿童在解决某类估算题目时可能同时使用多种策略，因此策略人次百分比之和有时大于100％)。

表3中结果显示，(1)对于整数估算策略中的截取策略和调整并修饰结果策略来说，小学儿童分别呈现出逐渐增加后又下降的趋势和三年级后平稳发展的趋势。对于粗略心算策略来说，当解决较为容易的整数题时，其发展呈现出先逐渐提高后又明显降低的趋势。而面临复杂的小数和分数题时，该策略的使用比例又明显增加。结果凑整策略和取整策略在解决容易的整数题时总体上分别呈现出平稳发展趋势和先急剧上升又在三、四年级之后逐渐降低的趋势。(2)关于小数策略，儿童得到优先发展的是忽略小数部分策略，而且趋势是先缓慢增长又加速上升，而结果凑整策略只有到了六年级才有极少数人使用。(3)关于分数策略，加减分子分母策略在五年级萌芽，到了六年级后使用频率明显降低。采用共同分母策略和看作单位数“1”策略则逐渐被儿童频繁地使用。到了高年级，粗略心算方式在学生头脑中则已逐渐根深蒂固。在六年级学生的分数策略反应中，有44.6％的反应是通过运用精确计算方式来得到估计值，显著高于使用其他策略的频率，x2=337.62，p

3.3　估算错误类型

最后统计了不同估算错误类型在不同年级儿童身上出现的频率百分比，结果见表4。

表4中结果显示：(1)小学儿童在估算中出现了多种错误，而且错误的层次不同。第一类是猜测错误。个体根本不能理解估算的含义，或因任务难度过大无法完成估算任务。第二类是基本算术错误。它主要包括法则运算错误、小数点位置错误、看错运算符号和其他算术运算错误。第三类是估算策略使用错误。它包括了精确答案错误、数位错误、数字调整量过多和错误使用单位1等种类。(2)不同年级学生的常见错误类型差异很大。同其他类型错误相比。猜测错误、规则运算执行运算错误和数量调整量过多是一年级学生估算时最容易出现的错误类型，x2=35.28，p

级：x2=37.36，p

4　讨论

4.1　关于估算能力的发展

儿童能否成功解决较为复杂的估算问题，取决于他能否结合问题所提供的信息来选择恰当的估算策略。国内有研究中已发现，在整数题中运用取整和调整并修饰结果、在小数题中运用改变数位和在分数题中将分数化为容易处理的小数是促使个体取得成功的主要原因，而过多地使用了粗略心算和结果凑整策略是导致个体在整数和分数估算中不成功的主要原因。本研究的结果显示，儿童解决估算问题的能力还同题目类型有很大关系。从表2结果可以看出，分数题的难度显著高于小数题，而小数题又显著高于整数题。虽然对于不同年级的学生来说，题目类型难度的作用大不相同。但总的来说，随着对概念掌握程度的加深，多数被试都表现出了这种特点。

由于小学儿童对整数概念从一年级就开始接触。随着年龄的增长和练习机会的增多，他们对整数概念的掌握程度逐渐加深。这反映在估算中就是整数估算的成绩逐步提高。而且按照Case和Sowder的观点，整数估算只涉及到对一个成分的操作，完全在儿童认知发展能力之内。因为从6岁到10岁属于维度阶段。这一时期的儿童只能关注一个成分。而整数题恰恰符合这个特点。相比之下。小学儿童对小数和分数概念的接触到了四年级之后才开始。缺乏更多的练习机会。他们对这两种数学概念的掌握程度远远低于整数概念。再加上分数估算又是需要同时对分子分母两个成分进行操作，大大超出了儿童的认知加工能力。而小数题成绩显著高于分数题。其原因可能在于两个方面：(1)从本质上讲，对小数运算的操作只涉及到单个成分，还没有超出大多小学儿童的认知加工能力，他们能够完成这样的认知操作。这一点同整数运算类似。(2)分数估算的复杂程度要远远超过小数估算。在小数估算中。比较方便的估算方式只需要将小数化成整数。然后完全按照整数估算的方法就可以了。只是小数估算要找到合适的数位，否则容易产生误差较大的估计值。分数估算则不然，一般来说分数估算需要先找到恰当的基准点，即将分数转化为自己较为熟悉的分数。然后再按照分数运算规则进行通分。但遗憾的是，学生恰恰在这一点上存在严重缺陷。他们往往不会寻找这样的基准点。而是一看到题目便马上着手进行精确计算。这一结果同有关分数估算的研究是一致的。所以估算成绩在题目类型上的差异就不难理解了。

许多高年级学生在解决分数估算时都非常想找到一个公分母。这在表3中六年级被试使用粗略心算的人次上得到一定的反映。当用通分的方法心算不容易实现时。他们就试图运用不同策略以找到一个公分母。即使是在很难确定一个精确的公分母的情况下也是如此。许多学生往往只集中精力计算公分母而没有想到借助其他途径来绕开这一问题，如使两个分母相等或将一个分数变成一个更易解决的分数。正是由于学生僵硬地遵守所学的分数运算规则，从而导致他们在头脑中认为任何偏离这些规则的做法都是不能接受的。这种观念常常产生这样的不良后果：他们不仅在繁杂的通分计算过程中出错，对自己的能力感到失望，而且容易在完全没必要的情况下也试图寻找公分母，例如分数乘法题。

4.2　关于估算策略运用水平的发展

在前期研究中，已经发现并区分出了小学高年级儿童在估算中的高效率策略和低效率策略。从表3中可以看出，大多数有效策略均表现出迅速上升的趋势。但结果凑整和取整并修饰结果上升较为缓慢，其原因在于这类策略的使用人次本身就不高，其使用频率不可能表现出急剧上升，也就是说这里也存在所谓的“地板效应”。而那些有效性较差的策略，大都是中低年级学生使用较多，高年级却使用较少。但当遇到小数和分数这样较为困难的题目类型时，则又会更多地采用有效性较差但能保证速度的策略(这一点非常明显地体现在对粗略心算策略的使用上)。

表3还显示，小学阶段儿童估算策略的使用明显受到年龄和题目材料特点的双重影响。由此认为儿童估算策略发展的一般历程大致如下：儿童在面临简单估算任务时除了可以运用效率较低的策略外，还在逐渐获得那些效率较高的策略。随着年龄的增长，新的估算策略经过多次练习达到熟练后就能用于解决较为复杂的估算任务。此时儿童逐渐将效率较低的策略在策略库中封存起来。若儿童对某一效率较高的策略的掌握未达到熟练化、乃至自动化，当面临复杂估算任务时，他们就会重新启用效率较低但已掌握的旧策略。这同儿童的工作记忆容量和认知加工能力有很大关系。因为估算任务毕竟需要儿童在头脑中操作数字时将这些数字保持在工作记忆中。如果任务的数字加工过于复杂再加上策略的使用不熟练，极有可能记忆超载而导致不能完成任务或转向使用效率较低的策略来完成。即使任务数字加工不复杂但涉及到的维度过多(例如分数估算)，也容易超出儿童的认知加工能力，从而导致对低效率策略的重新启用。除了题目类型影响估算能力和策略水平的高低外，问题特征中数字的大小、有无实际背景、对问题的熟悉程度等均可能对其有影响。此外儿童估算策略的使用还可能同他们的心算能力、对估算的概念掌握情况以及对估算的情感态度有关系。最近我们对学业不良儿童的估算能力与其估算情感特点的关系研究已为这一推论提供了初步佐证。

4.3　关于小学儿童的估算错误类型

本研究结果显示(见表4)，小学儿童会出现多种估算错误。有的因为基础知识不扎实和基本技能不熟练(例如规则运算执行错误)。有的则由于估算策略使用不当(例如数位错误、错误使用单位数1等)。另外，盲目猜测根本就是因为不理解估算意义，或者可能根本不具备估算概念。当然也有可能是其一般数学能力较差或把估计看成是一种随意的猜测。本研究未能搜集更多资料做出更进一步的分析，还不能确定儿童发生猜测的真正原因，因此这还需要在未来研究中加以考虑。

表4资料还表明，在不同年级各自存在着出现频率最多的错误类型。例如在所有错误类型中，数位错误的总比例是最高的，它占到错误总数的26.9％。这同LeFevre等人㈤的结果基本一致。他们也发现在加拿大小学生中，数位错误是非常频繁出现的估算错误类型。这就意味着如果我们能够采取有效教学措施，加强小学数感(number sense)教学，使这种错误类型的发生受到控制，那么就可以较大幅度地提高小学儿童的估算准确性。

除了数位错误之外，精确答案错误也是需要注意的一个方面。在本研究中，为了保证数据的有效性。将被试给出的精确答案归人不合理答案之列。对于这一点，研究者们是存在争议的。例如Dowker就认为不能将个体给出的精确答案看成是合理答案。因为他们有可能是通过回忆已掌握的事实或进行精密心算来得到的，而这根本就不是在估算。但是另外一些学者则主张把个体通过精密心算或回忆已掌握事实得到的答案视为合理的估算答案。本文认为关于这个问题需要区别不同情况。一种是个体根本不会或不愿估算亦或头脑中没有其他的估算方法可供使用。这种情况下出现的精确答案就不应认为是估算。因为他们根本没有理解和掌握估算的含义与方法，更谈不上使用合适的估算策略了。此时给出的答案若被视为估算答案是非常勉强的。另一种情况是随着个体计算经验的丰富，头脑中储存的基本事实和策略越来越多，他们能够理解估算的含义。并能使用相应的策略解决估算任务。那么他们在这种有策略选择空间的情况下利用回忆事实来给出的精确答案就应看作是一种估算答案。因为他们不是不会估算，而是题目比较简单，根本不需要使用其他估算策略就能解决。所以LeFevre等人提出估算过程中个体必然经历一个精确答案评价环节，认为人们在面对估算任务时，首先想到的就是看能不能根据头脑中已有的现成事实来得到答案。如果有，便立刻给出精确答案；若未回忆起合适的答案，就进入将任务中的数字进行重新调整以便于心算的环节。因此对这个问题必须具体情况具体对待。考虑到本研究被试为小学生，他们对估算了解很少或根本就没有了解，更谈不上有多少估算策略可供利用了。因此本研究把小学儿童给出的精确答案不看作估算答案具有一定的合理性。

5　结论

由上述结果和分析不难发现，整个小学阶段儿童的估算能力发展呈现出了整体推进、交替上升的态势。具体表现为：(1)估算准确性的提高明显受到年龄和材料特点的交互影响；(2)儿童估算内在加工的效率逐步提高，但各年龄段都有其发展的侧重点；(3)不同年龄儿童的估算质量均易受其估算错误类型的限制，这有必要引起教师教学的充分注意。