《信号与系统》中卷积积分教学探讨

摘要：卷积积分是信号与系统中用来求解系统零状态响应的重要工具。通过一道题目使用不同的方法求解：根据卷积的定义求、根据卷积的延时性质求、根据卷积的微积分性质求，最后用MATLAB语言编程验证，表明四种方法求出的结果是一致的。在教学中，鼓励学生一题多解，灵活选用方法，注意各种方法的使用注意点及适用范围，做到举一反三。

关键词：卷积积分；定义法；延时性质法；微积分性质法；MATLAB

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）51-0058-02

在电子信息类专业《信号与系统》、《数字信号处理》等课程中，卷积积分的概念和计算非常重要。卷积积分是一种重要的数学方法[1]，在线性时不变系统中卷积可以用来求取系统的零状态响应。在教学过程中，学生反映卷积概念抽象，计算烦琐。面对高职高专类学生数学基础课课时减少，推导运算能力较薄弱的现状及理论够用的原则，在课堂教学中淡化数学推导，主要讲清卷积的物理意义、作用等，关键是如何应用卷积的定义、性质等计算出卷积结果。卷积积分的计算有多种方法，如根据卷积的定义求、根据卷积的性质（延时性质、微、积分性质）求、图解法、算子计算法[2]、用变换域法求解等。

下面通过教材[3]上一个练习题来探讨卷积积分的求法。

一、例题求解

信号f1（t）和f2（t）的波形如图1所示，试求卷积积分y（t）=f1（t）*f2（t），画出y（t）的波形，并用MATLAB验证之。

（一）根据卷积的定义求

卷积的定义为：设有定义在（-∞，∞）区间上的两个函数f1（t）和f2（t），则其卷积为：

y（t）=f1（t）*f2（t）=■f1（τ）f2（t-τ）dτ

分析求解：使用定义求卷积，需先将f1（t）和f2（t）的解析式写出来。通常我们借助阶跃函数ε（t）和ε（t-t0）延时阶跃函数 来表示信号的闭式解析式，主要是确定非零函数值的区间。

f1（t）=ε（t）-ε（t-2） f2（t）=2[ε（t）-ε（t-1）]

根据卷积的定义知

y（t）=f1（t）*f2（t）=■f1（τ）f2（t-τ）dτ=■[ε（τ）-ε（τ-2）]g2[ε（t-τ）-ε（t-τ-1）]dτ

学生在计算到了这一步犯了难，不知如何往下计算。

这里的关键是要简化被积函数和确定积分的上、下限，紧紧抓住单位阶跃函数ε（t）的定义，在自变量t>0时，取值为1，其他都为0。

综合知：当0≤τ≤2时ε（τ）-ε（τ-2）=1；当t-1≤τ≤t时，ε（t-τ）-ε（t-τ-1）=1，即当0≤τ≤2且t-1≤τ≤t时，被积函数为2。为确定积分上、下限，需要分情况讨论t的范围。

思考过程：0≤τ≤2的范围是固定的，确定在τ轴上，而t-1≤τ≤t的范围随着t的变化在τ轴上移动，但是其长度保持为1不变。可以找出t的5种情况，其对应的积分上、下限和卷积积分结果分别为：

（1）t

（3）1≤t

（5）t>3，y（t）=0

画出y（t）的图形为图2（d）所示。

说明：这道题目若利用卷积的定义求解，在确定积分上、下限和被积函数时比较烦琐。若在写出两个信号的解析式后借助卷积的性质求解会简单些。

（二）根据卷积的延时性质求

卷积的延时性质为：若y（t）=f1（t）*f2（t），有

f1（t-t1）ε（t-t1）*f2（t-t2）ε（t-t2）=y（t-t1-t2）ε（t-t1-t2）

分析求解：y（t）=f1（t）*f2（t）=[ε（t）-ε（t-2）]*[ε（t）-ε（t-1）]=ε（t）*2ε（t）-ε（t）*2ε（t-1）-ε（t-2）*2ε（t）+ε（t-2）*2ε（t-1），

已知ε（t）*ε（t）=tε（t），根据延时性质有

y（t）=2tε（t）-2（t-1）ε（t-1）-2（t-2）ε（t-2）+2（t-3）ε（t-3）

画出波形后与图2（d）相同。

（三）根据卷积的微、积分特性求

卷积的微分特性：若y（t）=f1（t）*f2（t）则：y'1（t）=f1（t）*f'2（t）=f1'（t）*f2（t）

卷积的积分特性：若y（t）=f1（t）*f2（t），则y（-1）（t）=f1（-1）（t）*f2（t）=f1（t）*f2（-1）（t）

分析求解：由卷积的微、积分特性有y（t）=f1（t）*f2（t）=f1（-1）（t）*f2'（t）

f2'（t）由两个冲激信号组成，由任意函数与冲激函数的卷积是任意函数本身及卷积的延时性质知f（t）*δ（t）=f（t）

f（t）*δ（t-t0）=f（t-t0）。

所以任意信号与冲激函数或延时的冲激函数相卷积，相当于将信号波形复制、平移、叠加。其过程为：

f1（-1）（t）*f2'（t）=f1（-1）（t）*[2δ（t）-2δ（t-1）]=2f1（-1）（t）-2f1（-1）（t-1）

注意：使用卷积的微积分性质求解，需要满足f1（-∞）=f2（-∞）=0。

（四）利用MATLAB语言编程求

使用MATLAB语言编程运行结果与上述三种方法求出的结果一致。

此题还可以利用图解法或算子计算法求解，此处不再赘述。

二、结论

通过一道求解卷积的练习题，使用三种方法：根据定义求解、根据卷积的延时性质和微积分性质求解，并利用MATLAB语言编程验证。表明：定义求解需要确定积分的上下限和化简被积函数；根据延时性质求解需要知道最基本的信号卷积的结果；根据微、积分性质求解，适用于其中有一个信号是阶跃信号或斜变信号，通过求导后会出现冲激信号，并且另外一个信号的积分比较容易得出的情况。在教学中尽力开拓学生的思路，让其选择自己擅长的方法求解，并能够举一反三。

参考文献：

[1]杨林耀.信号与系统[M].北京：中国人民大学出版社，2000.

[2]唐建锋，杨辉罗，湘南.信号与系统中卷积计算方法探讨[J].科技信息，2012，（04）：16.

[3]周昌雄.信号与系统[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008.

基金项目：2011年江苏省教育教学改革重点课题《依托省工程中心的太阳能光伏发电高技能人才培养模式的研究与实践》（课题编号：2011JSJG091）

作者简介：陈光红（1979-），女，江苏海安人，讲师，工程师，硕士，研究方向：信号与系统、电子技术的教学与研究。