数式发展变化型规律探索题的编制方法探微

创新型问题作为考查课标课程背景下学生的数学素养和创新能力日益受到命题者的青睐，其中以“数式”的变化规律为骨架编制的规律探索问题成为各地中考的常态.此类问题以数式按某种变化规律为载体，考查学生的探究、归纳、类比、运用能力.题目不仅情景新颖，而且有很强的趣味性和思辩性，需要考生具备良好的“数感”和“符号感”，也反映学生接受新事物和应用新事物的能力水平.解决此类问题的有效方法是运用合情推理，主要包括观察、比较、猜想、直觉、顿悟、直观发现、灵感等思维形式.

数式发展变化型规律探索题作为学业水平考试题，要同时兼顾对知识、能力的考查以及体现选拔的区分度、公平性和教学的导向性.那么，如何正确、合理地编制数式变化型规律探索题呢？笔者现从中撷取数例解析，权为抛砖引玉.

一、以数学知识为背景，编制数式发展变化型规律探索题

以数学知识为背景，编制数式发展变化型规律探索题大致可分为两类：一类是改编数学题.即将某些高中数学题作特殊化处理或者将其原有的条件和结论进行改造（强化、弱化或等价转化）、变换形式、改变提法等，使之能运用初中数学方法解决.二是引入数学背景的概念或运算.即题目中引进了初中数学教学中没有出现过的“新概念”或新运算，这些“新概念”或新运算有数学背景，但能被考生在感性上理解和接受，意在综合考查学生的学习潜能.

例1（2011年四川凉山）我国古代数学都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图1，这个三角形的构造法则：两腰的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按n的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等.

（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式.

（2）利用上面的规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.

解（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（2）原式=25+5×24×（-1）+10×23×（-1）2+10×2×（-1）3+5×2×（-1）4+（-1）5=（2-1）5=1.

本题以数阵形式给出主要信息源，比较新颖，但难度不大.解题时抓住各行数变化过程.关注数字间的联系，就能揭示“数阵”变化规律，顺利解题.本题是数学中二项定理及其性质的内容，将其特殊化探求规律，运用归纳推理解题.

例2， 引入新定义、新符号（2011年广东湛江中考题）已知： ， ， ， = ， ，观察前面的计算过程，寻找计算规律计算 （直接写出计算结果），并比较 （填“>”或“ . 本题引入新符号、定义新运算（规则），使之容易成为新概念型或新定义型试题.它对于初中生而言有新颖、陌生感，但其实质是数学中的排列数公式.命题者通过设置几个运算式要求考生从阅读中分析，理解其意义，归纳运算规律，再应用它解决问题，意在考查学生收集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析问题和解决问题的能力，以及数学交流能力.此类题在各种考试中经常出现，值得注意.又如，（2012年山东临沂中考题）读一读：式子“1+2+3+4+ +100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ，这里“ ”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 （答案： ）.二、以函数为背景，编制数式发展变化型规律探索题

一个确定的函数就意味着确定了自变量与函数值的关系，因此，以函数为背景编制数式变化型规律探索题，命题者往往以一次函数、反比例函数、二次函数等常见函数为载体设置问题，要求考生分析其中的数量关系，探究归纳规律，得出结果.

例2（2012年广东佛山）规律是数学研究的重要内容之一.初中数学中研究的规律主要有符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.

请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：

（1）写出奇数a用整数n表示的式子；

（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；

（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）.

下面对函数yx2的某种数值变化规律进行初步研究：

请回答：当x的取值从0开始每增加1112个单位时，y的值变化规律是什么？

当x的取值从0开始每增加111n个单位时，y的值变化规律是什么？

解（1）（2）略.

（3）在yi1yi 中填上yi+1-yi.

当x的取值从0开始每增加1112个单位时，y的值依次增加1114，3114，5114，… ；

当x的取值从0开始每增加111n个单位时，y的值增加111n2，311n2，511n2，….

本题知识点单一，难度不大.函数的变化规律重点要抓住函数式前后两项的变化规律就不难找出函数值的变化规律.

三、以代数式（公式）的运算为背景，编制数式发展变化型规律探索题

初中数学中有很多代数式（公式）的运算，它们具备一般性，可以变式推广，挖掘起隐含的规律.在编制数式发展变化型规律探索题时，只要对这些式子进行正向运算、逆向运算或者变式运算的改造，找出其中的变量与不变量，就可以编制出不同的探寻公式型试题.在具体操作中，先对式子进行特殊化运算，给出一系列具有相同或相似规律的“数（式）串”，让考生从中观察、猜想、比较、验证、归纳，探索出隐含于其中的数（式）变化规律，并把这种变化规律表示成与式子序号“n”相关的关系公式.