向量问题在高考题中的体现

高考题注重知识间的联系及知识网络的融合与交汇，进而考查学生灵活运用知识的能力.而向量恰好具有代数和几何的双重形式，具有很强的数形结合的工具性，因此高考考查中经常会出现它的影子.

一、平面向量的基础知识的体现

以平面向量的基础知识出题主要是突出向量的加减运算、模、夹角等问题，题目小、巧、活，难度不大，容易得分.

【例1】 已知向量a,b,c

满足|a｜＝1，|a-b|=|b|,(a-c)・(b-c)=0，若对每一个确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m,n，则对任意的向量b，m+n的最小值为 ．

分析：刚接触这题时，学生往往感到无从下手，其实向量本身就具有代数和几何的双重身份，因而可以利用坐标系将向量转化为代数计算.

解：令a=(1,0)，由|a-b|=|b|得a・b=12，从而b表示的点的轨迹为直线x=12.

设c=(x,y)，b=(12,b)，由(a-c)・(b-c)=0得(x-34)2+(y-b2)2=b24+516，

所以m+n=2916+b24，故m+n的最小值为32.

回顾：这类题主要是考查学生对平面向量的基本知识的了解与运算能力.从阅卷情况来看学生的失分率极高，学生失分的主要原因是对向量的理解与运用能力欠缺.所以我们应该强调让学生进行一些向量的基本运算，同时积累一定的数形结合的思想，以便帮助他们打开解题的思路.

二、平面向量与三角函数结合的体现

将三角函数变换与平面向量的数量积进行有机结合，不仅考查三角变换，而且深化了向量的运算，同时也拓宽了三角与向量的命题范围.

【例2】 已知向量m=(1,1)，向量n与向量m的夹角为3π4，且m・n=1.

若向量n与向量q=(1,0)的夹角为π2，向量p=(cosA,2cos2C2)，其中A、B、C为ABC的三个内角，且A、B、C依次成等差数列，求|n+p|的取值范围.

解：由向量n与向量q＝（1，0）的夹角为π2得n=(0,-1)，

因为A、B、C依次成等差数列，所以B=π3，A+C=2π3，所以0＜A＜2π3.

n+p=(cosA,2cos2C2-1)=(cosA,cosC)，

|n+p|2=cos2A+cos2C=1+12［cos2A+cos(4π3-2A)］=1+12cos(2A+π3)，

因为0＜A＜2π3，所以π3

＜2A+π3＜5π3，

所以12≤1+12cos(2A+π3)＜54，即|n+p|2∈［12,54),

所以|n+p|∈［22，52）.

三、平面向量与解析几何结合的体现

向量本身就可以用坐标表示，而解析几何正好是用代数方法研究几何问题，向量与解析几何有着极其密切的联系，它们都有共同的特征：几何、数量特征.

【例3】 过点C(0,1)的椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)

的离心率为32.该椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一个点D，并与x轴交于P点.直线AC与直线BD交于点Q.

当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长.

解：由已知得b=1,ca=32，解得a=2.所以椭圆方程为x24+y2=1.

椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为y=-33x+1，代入椭圆方程得

7x2-83x=0，解得x1=0,x2=837，所以点D的坐标为(837,-17).

故|CD|=(837-0)2+(-17-1)2=167.

回顾：由b=1，e=32，可得a=2,c=3是解决问题的关键，可易求CD长，而P点运动时，求点D的坐标，才能得点Q的坐标.

当然，向量知识还可以和其他诸多知识交汇，只要我们不断积累，认真总结，抓住向量的本质，就能达到触类旁通的学习效果.