巧用体积法

立体几何是每年高考中的一个重要考查对象,在每年的高考中都占有很大的比例.解立体几何题需要识图、绘图的能力,也需要转化能力及空间想象能力.纵观近年的高考,我们不难发现,在立体几何的考试中,经常考查到求点到面的距离和体积的问题,而这些问题的解决有时借助常规的方法并不能轻松地获得结果.这时如果能想到等体积法,则可以给你一种“柳暗花明又一村”的感觉.下面我们将从几道高考题中感受到这种方法带给我们的好处.

(一)用等体积法求锥体体积

例1.在四棱锥A-BCDE中,BE=CD,BE∥CD,设AB=1,CD=3,CD到侧面ABE的距离为2,且AB与CD的夹角为π3,则四面体ABCD的体积等于()

A.32B.12C.13D.33

解析:根据锥体的体积公式我们知道:V=13•S•h.

从题目所给条件看,已知长度的两条线段分别位于

两条异面直线上,而已知CD到侧面ABE的距离为2.

解决本题显然需要进行转化.三棱锥A―BCD与三棱锥A―BDE 底面积和高都相等,因此它们有相等的体积.

于是有:VA-BCD=VA-BDE=VD-ABE=13SΔBDEh=16AB•BE•sin∠ABE•h=12.

答案:选B.

点评:本题直接求四面体ABCD的体积有困难,但巧妙应用已知条件CD到侧面ABE的距离为2,得到了面ABE上的高,又由已知AB=1,CD=3,且AB与CD的夹角为π3,得到面ABE的面积. 掌握等体积法解决此类问题确实起到了“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的效果.

例2.(2001年春北京、安徽19)如图,已知VC是ΔABC所在平面的一条斜线,点N是V在平面ABC上的射影,且在ΔABC的高CD上.AB=a,VC与AB之间的距离为h,点M∈VC.

(1)证明:∠MDC是二面角M-AB-C的平面角;

(2)当∠MDC=∠CVN时,证明VC平面AMB;

(3)若∠MDC=∠CVN=θ(0

(1)证明:如图,由已知,CDAB,

VN平面ABC,垂足N∈CD,AB平面ABC,

VNAB.

AB平面VNC.

又V、M、N、D都在平面VNC内,

DM与VN必相交,且ABDM,ABCD.

所以,∠MDC为二面角M-AB-C的平面角.

(2)证明:由已知∠MDC=∠CVN,在ΔVNC与ΔDMC中.

∠NCV=∠MCD.

又∠VNC=90°,

∠DMC=∠VNC=90°.

MDVC,ABVC.

所以,VC平面AMB.

(3)解法一:由(1)、(2)知:

MDAB,MDVC,且D∈AB, M∈VC.

MD=h.

又∠MDC=θ.

在RtΔMDC中,CM=h•tanθ.

V四面体MABC=V三棱锥C-ABM=13CM•SΔABM=13h•tanθ•12ah=16ah2tanθ.

解法二:由(1)知AB平面MDC,MD为VC与AB之间的距离,即MD=h.

又∠MDC=θ. 由(2)知MCMD.

CM=h•tanθ.

SΔMCD=12MD•MC=12h•h•tanθ.

所以,VMABC=VA-MCD+VB-MCD=13•AB•SΔMCD=16ah2tanθ.

点评:问题(3)的解法二巧妙地借助了棱AB与二面角∠MDC所在平面垂直关系构造了三棱锥A-MCD和B-MCD,从而避免了直接求ΔABC的面积及底面ABC上的高.

例3(2009宁夏、海南文)如图,在三棱锥P-ABC中,ΔPAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°.

(1)证明:ABPC;

(2)若PC=4,且平面PAC平面PBC,

求三棱锥P-ABC体积.

(1)证明:由已知ΔPAB是等边三角形,

且∠PAC=∠PBC=90°,

RtΔPBCRtΔPAC.

AC=BC.

如图,取AB中点D,连结PD,CD,则PDAB,CDAB.

AB平面PDC.

所以ABPC.

(2)如图,作BEPC,垂足为E,连结AE.则有RtΔPBCRtΔPAC.

AEPC,AE=BE.

所以,∠BEA为二面角B-PC-A的平面角.

由已知,平面PAC平面PBC,

∠AEB=90°.

又RtΔAEBRtΔPEB,

ΔAEB,ΔPEB,ΔCEB都是等腰直角三角形.

VP-ABE=VC-ABE,

VP-ABC=VC-ABE+VP-ABE.

由已知PC=4,得AE=BE=2,

ΔAEB的面积S=2.

因为PC平面AEB,

所以三棱锥P-ABC的体积V=13×S×PC=83.

点评:本题(2)如果用常规的转换底面来求并不容易,构造共底面的两个等体积的小三棱锥,找到所求体积为两个小三棱锥的体积之和,使问题变得简捷.

(二)用等体积法求距离

例4 在半径为1的球面上有A、B、C三点,A和B,A和C的球面距离均为π2,B和C的球面距离为π3,经过A、B、C三点作截面,求球心O到截面的距离.

解析:已知球半径R=1,要求球心到截面的距离d,首先需要确定截面ΔABC,进而确定ΔABC的外心(截面圆圆心).

由题设条件知:∠AOB=π2,∠AOC=π2,∠BOC=π3.

AB=AC=2,BC=1,取BC的中点为D,连结AD、OD.

BCAD.

又BCOD,

BC平面OAD,

平面ABC平面OAD,且平面ABC∩平面OAD=AD.

在平面OAD内,过点O作OHAD于H,

则OH平面ABC,且H为截面圆圆心(ΔABC的外心).

因此,又由已知,得AD=AB2-BD2=2-(12)2=72,

OD=32,AO=1,

AD2=AO2+OD2.

∠AOD=90°.

在RtΔAOD中,由等面积法求得:OH=AO•ODAD=217.

所以,球心到截面的距离为217.

点评:对于问题中出现的三棱锥O-ABC,我们仍从构造截面ΔOAD入手探求相关量之间的关系,截面ΔOAD的特殊性一旦被挖掘出来,问题则能顺利解决.

(三)祖原理的应用

例5由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1.满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2.则:

A.V1=12V2B.V1=23V2C.V1=V2D.V1=2V2

解析:我国古代数学家祖在对于两个几何体体积的比较方面作出了卓越的贡献,祖原理告诉我们:对于两个底面积相同,高相等的几何体,任做一个平行于底面的截面,若每

一对截面的面积都相等,则这两个几何体的体积相等.运用祖原理,我们可以将不规则的几何体的体积计算转化为规则几何体的体积计算.如计算球的体积时我们可以将半球转化为圆柱与圆锥的组合体.显然,本题中的两个几何体符合祖原理的条件,比较其截面面积如下:

取y=a(-4≤a≤4),则:

S1=16π-π•(2•|a|)2=16π-4|a|π.

当a

当a>0时:S2=π•(16-a2)2-π•(4-(a-2)2)=16π-4aπ.

显然,S1=S2,于是有:V1=V2.

点评:利用祖原理求几何体的体积的关键是找出一个满足条件的截面的面积.