剖析三角形的等积分割线与三角函数式的求值论文

如何将一个三角形面积分割成两个相等的部分，是我们已熟知的问题，只要沿三角形的中线，即可把三角形分割成面积相等的两个部分，许多同学认为，这样的分割线只有三条，但是，这样的分割线到底有多少条呢？

问题1：请用一条直线，把ABC分割为面积相等的两部分。

解：取BC的中点，记为点D，连结AD，则AD所在直线把ABC分成面积相等的两个部分。

大家知道，这样分割线一共有三条，分别是经过ABC的三条中线的直线，能把ABC的面积分成相等两部分。除了这三条以外，还有很多种，并且对于ABC边上任意一点，都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。

问题2：点E是ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E求作一条直线，把ABC分成面积相等的两部分。

解：如图2，取AB的中点D，连结CD，过点D作DF∥CE，交BC于点F，则直线EF就是所求的分割线。

证明：设CD、EF相交于点P

点D是AB的中点

AD=BDSCAD=SCBD

S四边形CAEP＋SPED=S四边形DPFB＋SPCF

又DF∥CESFED=SDCF（同底等高）

即：SPED=SPCF

S四边形CAEP=S四边形DPFB

S四边形CAEP＋SPCF=S四边形DPFB＋SPED

即S四边形AEFC=SEBF

由此可知，把三角形面积进行平分的直线有无数条，而且经过边上任意一条直线，运用梯形对角线的特殊性质，很容易作出这样的分割线。

那么，这些分割线会不会交于某特定的一点呢？

大家知道，三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分，而三条中线交于它的重心，如果这些分割线相交于一点，那么这点必定是三角形的重心。

问题3：已知：如图3，在ABC中，G是ABC的重心，过点G作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：SAEF=SABC.

证明：延长AG，交BC于点D

点G是ABC的重心

AG:AD=2:3

又EF∥BC，AEF∽ABC

由本题可得：过AB边上的点E，经过重心G的直线，EF把三角形面积分为4:5两部分，直线EF并不是三角形的等积分割线。而根据问题2，可以找到一条过点E把三角形面积平分的一条直线，这条直线必不过重心G。

综上可知，三角形的等积分割线有无数条，而且任意给定边上一点，都可以作出相应的等积分割线，且只有一条，所有的分割线并不相交于三角形的重心。

1.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°

=2cos30°cos10°cos10°=3

总结评述：本题的解题思路是：变角切割化弦化异角为同角转化为特殊角约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

2.给值求值给出角的一种三角函数值，求另外的三角函数式的值，常用到同角三角函数的基本关系及其推论，有时还用到“配角”的技巧，解题的关键是找出已知条件与欲求的值之间的角的运算及函数名称的差异，对已知式与欲求式施以适当的变形，以达到解决问题的目的。

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

3.给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。

cosα=－750且α∈（0，π）

sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1

α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

3π2<2β<2π

α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

α+2β=11π4

总结评述：给值求角问题中，求出三角函数值后，要注意限制角的范围。