一道高考题的解法探究及引申

(2009年江西)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.

(1)求证:平面ABM平面PCD;

(2)求直线PC与平面ABM所成的角;

(3)求点O到平面ABM的距离.

解:方法一:(1)依题设,M在以BD为直径的球面上,则BMPD.

因为PA平面ABCD,则PAAB,又ABAD,所以AB平面PAD,则ABPD,因此有PD平面ABM,所以平面ABM平面PCD.

(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD.

由(1)知,PD平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角,且∠PNM=∠PCD,tan∠PNM=tan∠PCD=■=2■所求角为arctan2■.

(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.

因为在RtPAD中,PA=AD=4,PDAM,所以M为PD中点,DM=2■,则O点到平面ABM的距离等于■.

方法二:

(1)同方法一;

(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0,),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2).

设平面ABM的一个法向量■=(x,y,z),由■■■■可得:2x=02y+2z=0,令z=-1,则y=1,即■=(0,1,-1).设所求角为α,则sinα=■=■,所求角的大小为arcsin■.

(3)设所求距离为h,由O(1,2,0),

■=(1,2,0),得:h=■=■.

方法一利用传统的解法,采用“作图、证明、解三角形”的老“三步曲”方法解题,在第(2)问中寻找直线PC与平面ABM所成的角时技巧性强,能力要求高,方法二通过引入空间向量后,把几何问题代数化,巧妙地使线面角问题为线线角问题,从而降低了此题的解题难度。2008年的江西高考文、理第20题也有类似之处。

(2008年江西文、理20)如图,正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知OA1=■.

(1)求证:B1C1面OAH;(2)求二面角 O=A1B1-C1的大小.

解:方法一:(1)依题设,EF是ABC的中位线,所以EF∥BC,则EF∥平面OBC,所以EF∥B1C1.

又H是EF的中点,所以AHEF,则 AHB1C1.

因为OAOB,OAOC,所以OA面OBC,则OAB1C1,因此B1C1面OAH.

(2)作ONA1B1于N,连C1N.因为OC1平面OA1B1,根据三垂线定理知,C1NA1B1,∠ONC1就是二面角O-A1B1-C1的平面角.作EMOB1于M,则EM∥OA,则M是OB的中点,则EM=OM=1.

设OB1=x,由■=■,得■=■,解得x=3,在RtOA1B1中,A1B1=■=■■,则ON=■=■.所以tan∠ONC1=■=■,故二面角O-A1B1-C1为arctan■.

方法二:以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,O-xyz则A(2,0,0),B(0,0,2),C(0,2,0,)E(1,0,1)F(1,1,0),H(1,■,■)

所以■=(-1,■,■),■=(1,■,■),■=(0,2,-2)

■・■=0,■・■=0

BC平面OAH

由EF∥BC得B1C1∥BC,故:B1C1平面OAH

(2)由已知A1(■,0,0),设B1(0,0,z)则■=(-■,0,1),■=(-1,0,z-1)

由■与■共线得:存在λ∈R有■=λ■得-■=-λ1=λ(z-1)■z=3,B1(0,0,3)

同理:C1(0,3,0)

■=(-■,0,3),■=(-■,3,0)

设■=(x1,y1,z1)是平面A1B1C1的一个法向量,则-■x+3z=0-■x+3y=0令x=2得y=x=1

■(2,1,1)又■=(0,1,0)是平面OA1B1的一个法量.

cos(■,■)=■=■

所以二面角的大小为arccos■

同样的我们可以发现方法一中寻求二面角O-A1B1-C1的平面角是一大难点,需要作辅助线,并且计算OB1的长度对空间立体感要求很高。而方法二引入两平面的法向量,使求二面角问题转化为求两法向量夹角问题,大大简化了计算程序,给人耳目一新的感觉。

立体几何是历年高考中必考的重点、难点问题之一。空间向量的应用将有利于培养学生的空间想象能力,启发学生的数学思维,提高学生的学习兴趣,让学生轻松、快活地学习。

作者单位:江西省新余市第一中学

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