正交变换的类型

摘要:在这里主要研究的是正交变换的类型,首先是从正交变换到矩阵,然后用矩阵去研究变换,通过从简单的矩阵向高阶矩阵的推广,运用正交矩阵的性质来得到相应的旋转变换和反射变换。

Abstract:Here the main study is the type of orthogonal transformation, first from the orthogonal transformation to the matrix, and then to study the transformation by the simple matrix from matrices to higher order and the use of orthogonal matrix corresponding to the rotation transformation and reflection transformations.

关键词:线性变换;正交;旋转;反射

Key words:linear transformation; orthogonality; rotate; reflect

中图分类号:TP30 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)03-0156-01

三维欧式空间 的正交变换的类型:

现在我们设σ是V3的一个正交变换,σ的特征多项式是一个实系数的三次多项式。因而至少有一个实根γ作为本征值,令γ1是σ的属于本征值γ的一个本征向量。我们设γ1作为单位向量。即使不为单位向量,也可以把它化为单位向量γ2,γ2使{γ1γ2γ3}是V3一个规范正交集。那么σ关于这个基德矩阵有形状V=r st0ab0cd,也就是说σ{γ1γ2γ3}={γ1γ2γ3}r st0ab0cd,由于V是正交矩阵,由正交矩阵的性质知:VTV=VVT=Ir00sabtcdr st0ab0cd=Ir2=1,rs=0,rt-=0,从而r=±1,s=t=0。于是V=±100 0 ab 0 cd。由于V正交矩阵abcd是一个二阶正交阵。abcd=cosφ-sinφsinφ cosφ①或cosφsinφsinφ -cosφ②。

(1)在①中V=±100 0 cosφ-sinφ 0 sinφ cosφ。(2)在②中根据对V2的正交变换的讨论,我们可以取V3的一个规范正交基{γ1γ'2γ'3}使σ关于这个基的矩阵为T=±10 0 0 1 0 0 0-1。如果在T中左上角的元素为1,那么重新排列基向量,σ关于基{γ'3γ'2γ1}的矩阵是-10 0 0 1 0 0 0 1。如果左上角的元素是-1,那么σ关于基{γ'2γ'3γ1}的矩阵是1000 -1 000 -1=1 000 cosφ-sinφ0 sinφ cosφ。

这样,V3的任一正交变换σ关于某一规范正交基{α1α2α3}的矩阵为下列三种类型之一:1 000 cosφ-sinφ0 sinφ cosφ,-10 0 0 1 0 0 0 1或-1000 cosφ-sinφ0 sinφ cosφ=1000 cosφ-sinφ0 sinφ cosφ-10 0 0 1 0 0 0 1

在第一种情况:σ是绕通过α1的直线ξ(α1)的一个旋转,在第二种情况,σ是对于平面ξ(α2α3)的反射,第三种情况是前两种变换的合成。

自然会问,上述的第一种类型在φ=0时不就是第二种类型么?

在Vn中得出一般的结论,引入些符号。

设Ai=cosφi-sinφisinφi cosφiBn=-10 11 10 1

这里的φi可以为0也可以为π,即{Ai}中含有1001与-10 0-1但不含-10 0 1=B2。

那么一般情况下有以下两方面的叙述:(1)当n为偶数时Vn中正交变换在某一标准正交基下(最多调换基向量的顺序)的矩阵是两种类型。即A1 0 A20A与B2 0 A1 0 A。当n为奇数时,也是两种类型即:1 0A1 0 A与-10A1 0 A。比如V4中是V1=cosφ1-sinφ1 0 0sinφ1cosφ10000 cosφ2-sinφ2 00sinφ2cosφ2 V2=-10 00 0 10 0 00cosφ1-sinφ100sinφ1cosφ1V5中是1 00 u1与-1 0 0 u1。(2)为给出几何解释进行适应的基变,则Vn中任何正交变换都是若干阵为:

1 01cosφ-sinφ sinφcosφ1 0 1与101 -11 0 -1的“旋转”与“反射”的合成,所以,几何形式也只是两种类型。

参考文献:

[1]张禾瑞.高等代数[M].北京:高等教育出版社.

[2]杨克劭.矩阵分析[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社.

[3]黄廷祝.矩阵理论[M].北京:高等教育出版社.