正态分布常见考点

考点一 正态分布密度函数

正态曲线方程中含有两个参数[μ]和[σ]，其中[μ]可取任意实数，表示平均水平的特征数，[E（X）=μ]；[σ>0]表示标准差，[D（X）=σ2].一个正态曲线方程由[μ，σ]惟一确定，[π]和[e]为常数，[x]为自变量，[x∈R].

例1 已知某正态分布的概率密度曲线[f（x）=12πσe-（x-μ）22σ2]，[x∈（-∞，+∞）]的图象如下图，则函数的解析式[f（x）] .

解析 由图象关于直线[x=0]对称，

则[μ=0]，[f（0）=12πσ]=[142π]，故[σ]=4.

所以[f（x）]=[142π][e-x232].

点拨 本题与常见的正态分布概率的相关计算在形式上有所不同，但同样是考查正态曲线的特点（对称性与最值）.

例2 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为[142π].

（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；

（2）求正态总体在（-4，4]上的概率.

分析 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数[μ，σ]的值，其中[μ]决定曲线的对称轴的位置，[σ]与曲线的形状和最大值有关.

解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于[y]轴对称，即[μ=0.]

由[1σ2π]=[142π]，得[σ=4].

故该正态分布的概率密度函数的解析式是[f（x）]=[142π][e-x232]，[x∈（-∞，+∞）].

（2）[P（-4

[=P（μ-σ

点拨 求正态密度函数解析式，主要用待定系数法，一是对称轴[x=μ]，另一个是最值[1σ2π].这两点确定以后，相应参数[μ，σ]便确定了. 将[μ，σ]代入[f（x）]中便可求出相应的解析式.

考点二 借助于标准正态分布表求值

例3 设[ξ]服从[N（0，1）]，求下列各式的值：

（1）[P（ξ2.35）]；（2）[P（ξ

分析 因为[ξ]服从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值.但由于表中只列出[x00，P（ξ

解 （1）[P（ξ2.35）=1-P（ξ

[=1-0.9906=0.0094].

（2）[P（ξ

[=1-0.8925=0.1075].

（3）[P（|ξ|

[=Φ（1.54）-Φ（-1.54）][=Φ（1.54）-[1-Φ（1.54）]]

[=2Φ（1.54）-1]=0.8764.

点拨 制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便，其简捷的效果更突出了核心内容.在理解的基础上记住上面的几个公式，并学会灵活应用.

例4 设[η]服从[N（1.5，22）]试求：

（1）[P（η

分析 首先，应将一般正态分布[N（1.5，22）]转化成标准正态分布，利用结论：若[η?N（μ，σ2）]，则由[ξ=η-μσ?N（0，1）]知，[P（η

解 （1）[P（η

（2）[P（η

[=1-Φ（-2.75）=0.0030.]

（3）[P（η2）.=1-P（η

[=1-Φ（0.25）=0.4013.]

点拨 这里，一般正态分布[ξ?N（μ，σ2）]，总体小于[x]的概率值[F（x）]与[P（ξ

考点三 利用正态分布的对称性求概率

[X?N（μ，σ2）]关于[x=μ]对称.随机变量[X]的取值区间在[（a，b]]上的概率等于正态曲线与直线[x=a]，[x=b]以及[x]轴围成的封闭图形的面积.

例5 设[X～N（1，22）]，试求：

（1）[P（-1

分析 首先确定[μ=1，σ=2]，然后根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点求解.

解 因为[X～N（1，22）]，所以[μ=1，σ=2].

（1）[P（-1

[=P（μ-σ

（2）因为[P（3

所以[P（3

[=12[P（-3

[=12[P（1-4

[=12[P（μ-2σ

[=12]（0.9544-0.6826）=0.1359.

点拨 （1）充分利用正态曲线的对称性和曲线与[x]轴之间面积为1；（2）正态曲线关于直线[x=μ]对称，从而在关于[x=μ]对称的区间上概率相等.

考点四 正态分布的实际应用

正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量的误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等，由此可确定一些决策性的指标.

例6 公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高[ξ?N（175，36）]（单位：cm），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？

分析 求的是门的最低高度，可设为[x]cm，使其总体在不低于[x]的概率值小于1%，即：[P（ξx）

解 设该地公共汽车门的高度应设计为[x]cm，则[P（ξx）

由于[ξ?N（175，36）]，

所以，[P（ξx）=1-P（ξ

即[Φ（x-1756）>0.99.]

通过查表可知：[x-1756>2.33.]

解得，[x>188.98].

即该地公共汽车门至少应设计为189cm高.

点拨 逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性，关键是理解题意和找出正确的数学表达式.

1.已知随机变量[X～N（μ，σ2）]，则[Y=aX+b]服从（ ）

A.[Y～N（aμ，σ2）] B.[Y～N（0，1]）

C.[Y～N（ua]，[σ2b）] D.[Y～N（aμ+b，a2σ2）]

2.已知随机变量[X]服从正态分布[N（2，σ2）]，[P（X

A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84

3.在某项测量中，测量结果[ξ]服从正态分布[N（1，σ2）（σ>0）]，若[ξ]在（0，1）内取值的概率为0.4，则[ξ]在（0，2）内取值的概率为 .

4.已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为 .

5.某个工厂的工人月收入服从正态分布[N（500，202）]，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？

6.一次数学考试中，某班学生的分数[X]服从正态分布，全班的平均分为[μ=110].

（1）当全班分数的标准差为10时，计算[|x-110|]≤19.6的概率；

（2）当全班学生的分数标准差为20时，计算[P（70.8x149.2）].

1. D 2. A 3. 0.8 4. 1 5. 3 6. （1）0.95 （2）0.95