白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河

早在古罗马时代，就有“将军饮马”的传说，而我国唐朝诗人李欣《古从军行》中的第一句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”也隐含着一个有趣的数学问题，那就是“两点之间，线段最短”，这个数学结论在实际生活中应用十分广泛。探究最短线路，既充满着生活中的趣味性，又是对数学思维的一种挑战。如，蚂蚁爬行的最短路径问题，是讨论在规则立体图形表面上蚂蚁从一点爬到另外一点如何选择路径使所走路程最短的问题。此问题背景简单、生动、活泼，而解决此问题中需要运用几何学中两点之间线段最短等基础知识，并渗透了把空间问题转化为平面问题的等基本数学思想方法。如：

案例一：一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角线顶点B处，问怎样走路线最短？（长方体的长、宽、高分别为a、b、c）

解：首先将这个长方体展开成平面图形，共3种情况，如图，然后根据两点之间线段最短，由图1可得AB=■，由图2可得AB=■，由图3可得AB=■，最后根据a、b、c的具体值得出最短路线。

解析：在立体几何里处理某些最优化问题，可以通过其平面展开图利用两点间线段最短来解决。但是，是不是所有的蚂蚁爬行问题都是两点之间线段最短呢？下面我们再看两个案例：

案例二：已知圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，蚂蚁从A点爬到B点的路程最短是多少？（精确到0.1 cm）

解：应分两种情况来考虑：

第一种情况，沿侧面爬行，所以我们将其沿圆柱侧面展开后在平面上来研究，根据“平面上两点之间线段最短”得最短距离为AB=■≈21.3（cm）。

第二种情况，若蚂蚁不沿圆柱侧面爬行。

若蚂蚁先由圆柱的A点沿高爬行到C点，再沿上底面直线CB爬行到B点，此时爬行路程为10+12=22（cm）。若为不同数据时，两者都有可能最小，事实上，要使第一种爬法最短，必须满足■>h+2r，整理得r>■。

例如，r=2，h=3，则第一种爬法6.96 cm，第二种爬法7 cm。

所以此题若不考虑第二种情况，则解法是错误的。

再如，圆锥绕侧面距离最短问题，一般是利用侧面展开图转化为平面上两点之间线段最短的方法来求，但是，当圆锥的侧面展开图的圆心角不小于180°时，此法还适用吗？

例如：已知圆锥母线长为l，侧面展开图的圆心角为θ，轴截面PAB的一边PB的中点为M，用绳子从M绕侧面一周到A，求绳子的最短距离。

解：沿PA剪开，把圆锥侧面展开，根据平面内两点之间线段最短得出所求最短距离为MA′=■=

■■=■■，当然上述解法对于0

参考文献：

周赫.新教材疑难问题研究与解决.东北师范大学出版社，2008.

（作者单位 安徽省蚌埠市第八中学）