一道中学不等式证明题的推广及应用

不等式是中学数学乃至现代数学中的重要内容，在不等式证明中，利用已知不等式来证明常常能收到事半功倍的效果.本文通过对2010年高考题辽宁卷24题中的不等式a+b+c+++≥6的项数，运算方式的推广，得到一些新的不等式.

例1（2010年高考题辽宁卷24题）：已知a，b，c均为正数，证明：a+b+c+++≥6，并确定a，b，c为何值时等号成立，并且给出证明.

证明：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得：

a+b+c≥3（abc）

++≥3（abc）

所以++≥9（abc）

故a+b+c+++≥3（abc）+9（abc）

又因为3（abc）+9（abc）≥2=6

所以原不等式成立.

当且仅当a=b=c时，③式和④式等号成立，当且仅当3（abc）=9（abc）时，等号成立.即当且仅当a=b=c=3时，所证不等式的等号成立.

定理1：已知a，a，…，a均为正数，则a+a+…+a+++…+≥2n，当且仅当a=a=…=a=n时等号成立.

证明：因为a，a，…，a均为正数，由上文引理2中的不等式①、②得：

a+a+…+a≥n（aa…a）

（当且仅当a=a=…=a时等号成立）

++…+≥=n（aa…a）

（当且仅当a=a=…=a时等号成立）

所以++…+≥n（aa…a）

故a+a+…+a+++…+

≥n（aa…a）+n（aa…a）

≥2

（当且仅当n（aa…a）=n（aa…a）时等号成立）=2n

综上可得a+a+…+a+++…+≥2n，当且仅当a=a=…=a=n时等号成立.

定理2：已知a，a，…，a均为正数，则

（a+a+…+a）++…+≥n，当且仅当a=a=…=a时等号成立.

证明：因为a，a，…，a均为正数，

a+a+…+a≥n（aa…a）

（当且仅当a=a=…=a时等号成立）

++…+≥=n（aa…a）

（当且仅当a=a=…=a时等号成立）

所以++…+≥n（aa…a）

故（a+a+…+a）++…+≥n（aa…a）•n（aa…a）=n

综上（a+a+…+a）++…+≥n，当且仅当a=a=…=a时等号成立.

例2：若a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c=3，求u=a++b++c+的最小值.

解：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a+＞0，b+＞0，c+＞0，则由权方和不等式得：

u=a++b++c+≥=

（当且仅当a+=b+=c+，即a=b=c时等号成立）

又由定理2得：++≥=3

（当且仅当a=b=c时等号成立）

所以u≥=24，当且仅当a=b=c=1时等号成立.

参考文献：

［1］朱华伟.从数学竞赛到竞赛数学［M］.北京：科学出版社，2009：140.

［2］刘淑珍.不等式a3+b3+c3≥3abc的证法及推广［J］.数学教学通讯，2004，01：31-32.

［3］张玮.一个不等式的推广和完善［J］.中学教研（数学），2010（10）

［4］蔡玉书.均值不等式［J］.中学数学月刊，2010，（7）.

［5］魏美云.用基本不等式求最值［J］.数理天地（高中版），2010，（9）.

［6］匡继昌.常用不等式［M］.山东：山东科学技术出版社，2004.