信号处理类课程教学中概念的引入

摘要：《信号与系统》和《数字信号处理》是两门信号处理类课程，它们是电子信息类的两门重要的专业基础课程。为了使学生更好的理解该类课程中的概念，利用“假设推理引入法”、“问题引入法”、“比较总结引入法”等方法来引入相关概念；这样做既可使学生理解概念的内涵和外延，又可锻炼学生分析问题、解决问题的能力。

关键词：信号与系统；数字信号处理；概念引入

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）17-0200-03

信号处理类课程是指《信号与系统》和《数字信号处理》，它们是电子信息类的两门专业基础课程，重要性不言而喻。这两门课程以《高等数学》、《复变函数》和《电路分析》为基础，以致内容涉及较多的数学公式推导。对于初次接触的学生来说，信号处理的内容晦涩难懂。为了提高学生的学习兴趣，许多教育同仁在该类课程的课堂教学方面进行了有效的探索，我们可以尝试以概念的引入为切入点，在信号处理类课程的讲解中将理论推导和实践理解结合起来。我们可以通过各种方式来对概念进行引入，如“假设推理引入法”、“问题引入法”、“比较总结引入法”等方法来将要讲解的概念进行引入，将理论推导和实践应用目的的讲解结合起来，这样，一方面可以使学生更好地理解概念的内涵和外延，另一方面可以锻炼学生分析问题、解决问题的能力。

一、假设推导引入法

在《信号与系统》课程中，周期信号的傅立叶级数分解的相关概念和公式的引入是很重要的。例如，周期信号的两种傅立叶级数的分解形式（见式（1）和式（2））：

f（t）=■+■ancos（n？赘t）+■bnsin（n？赘t） （1） f（t）=■Fn·ejn？赘t （2）

虽然在之前已经给出了信号的正交分解的相关概念；但是，很多课本在给出这两种分解形式的时候没有做过多的铺垫，没有将信号的正交分解的理论和周期信号的级数分解这个具体的例子结合起来，初次接触的学生会觉得很唐突。其实，这里只须做一个简单的假设推导，即可引入这两种级数分解的形式。

在这之前我们已经给出了信号的正交分解的概念，给出了完备正交基的相关概念和一些具体的完备正交基的例子；并且给出了这样一个结论：给出一个信号f（t）n，给出一个正交函数集（？渍1（t），？渍2（t）…？渍n（t）…），可以用正交函数集的基函数的线性组合的形式来逼近信号f（t），即f（t）≈■cj？渍j（t），（n∞）；如果正交函数集（？渍1（t），？渍2（t）…？渍n（t）…）是一个完备的正交函数集，那么f（t）=■cj？渍j（t），（n∞）。而且我们也知道，三角函数集1，cos（？赘t）…cos（n？赘t），sin（？赘t）…sin（n？赘t）…是完备的正交函数集；虚指数函数集ejn？赘t，n∈Z也是完备的正交函数集。

通过前面的分析，我们有理由假设周期信号f（t）分别用三角函数集和虚指数函数集这两种正交函数集的基函数的线性组合的形式来表示（见式（1）和式（2）），分解的系数先假设为■，an，bn和Fn。这样的话，后续的问题只是求出各自的分解系数就可以了。如果通过这种分析，然后假设推导，最后求解的方式来给出傅立叶级数的分解形式，学生理解起来连贯性比较强。而且，有些前沿的信号分解的方式均是在该框架下完成的，比如小波分解和稀疏分解，其基函数空间分别由小波函数集和过完备函数集组成；分解的框架模式不变，只是分解的具体形式变化了，求取分解系数的方法变了；这样的话，为后续的学习研究打下了一个良好的基础。

二、问题引入法

在《信号与系统》课程中，在讲解Laplace变换的定义的时候，如果直接给出其定义的表达式，学生会产生很多疑问：为什么要定义Laplace变换？Laplace变换与傅立叶变换有何区别？Laplace变换为什么还会存在一个收敛域的问题？这些问题的如果得不到很圆满的解释，学生理解起来会有很多盲点。我们可以从回答这些问题的角度来引入Laplace变换的定义。

首先，通过前面的傅立叶变换定义的学习，可以知道：①对于能量有限信号f（t），即满足狄氏条件（■f（t）dt0），其傅立叶变换从理论上来说是不存在的。但是，通过前面的学习可以知道，对于形如e■类的周期函数，其傅立叶变换可以利用奇异函数来表示；对于形如eatU（t），a>0的指数函数，其傅立叶变换还没有办法表示。因此，可以给出结论：为了表示形如eatU（t），a>0的指数函数的频谱特性，我们引入Laplace变换。

其次，Laplace变换是建立在傅立叶变换的基础之上的。对于式（3），

f（t）=eatU（t），a>0 （3）

由于t∞时，f（t）∞，其不满足狄氏条件，其傅立叶变换不存在，只有想办法将其变为衰减信号，其傅立叶变换才存在。由于f（t）是指数增长信号，采用的方法是乘以一个衰减速率比原信号增长速率更快的信号，使得到的信号变为衰减信号。我们可以将指数增长的信号f（t）=eatU（t），a>0乘以衰减因子e-？滓t，当？滓>a时，eatU（t）e-？滓t就成为指数衰减信号，其傅立叶变换存在，即

FTf（t）e-？滓t=■f（t）e-？滓te-jwtdt=■f（t）e- （？滓+jw）tdt （4）

令S=？滓+jw，则上式可写为：FTf（t）e-？滓t=■f（t）e-stdt （5）

可见，利用衰减因子e-？滓t乘以信号f（t），根据信号的不同特征，选择合适的？滓值，使乘积信号f（t）e-？滓t满足狄氏条件，从而其傅立叶变换存在，引出Laplace变换：

F（s）=■f（t）e-stdt （6）

通过上面的讲解，学生可以很容易的理解从Fourier变换到Laplace变换的过渡，弄清两者之间的关系。

最后，Laplace变换的收敛域，也是为了让f（t）e-？滓t满足狄氏条件，即■f（t）·e-？滓t0。对于形如eatU（t），a>0的指数信号，前面的推导过程已给出：？滓>a，这个条件必须要满足。而S=？滓+jw，因此Res[s]>a。由此，收敛域的理解也彻底了。

通过这种一步一步回答学生提出的问题的方式来引入Laplace变换的定义，既能解答学生的疑惑，又能将定义的内涵和外延讲解得很清楚。

三、比较总结引入法

在《数字信号处理》课程中，离散傅立叶变换（DFT）的定义引入，一般也是直接给出其定义式；这样的话学生可能会“囫囵吞枣”的把这个定义背诵下来。但是，对该定义的意义（即为什么要定义DFT）以及与其他类型的傅立叶变换的区别，就无从深入的理解。这种情况下，我们可以通过对以前已经学习过的非周期连续信号、周期连续信号、非周期离散信号、周期离散信号等各种类型的傅立叶变换的定义进行归纳总结、对比分析（见表1）；在此基础上引入DFT的定义。

1.四种不同形式的傅立叶变换。表1列出了4种不同特点的信号的时间函数和频率函数的波形对应关系，以及时域频域的变换形式。

对于非周期的连续时间函数xa（t）（长为Tp）（为了便于分析，我们一般假设xa（t）是一个时间上有限长频率上带限的信号），其傅立叶变换Xa（j？赘）在频区上也是连续的。其时间函数和频率函数的形式如表1中的第1种情况所示。

对于周期连续函数■a（t）：由于周期信号一般不能满足狄氏条件，周期信号的傅立叶变换一般用冲激函数表示。一般先将■a（t）展开成傅立叶级数的形式：■a（t）=■Ane■，其中？赘s=■（Tp为周期信号的周期），表示基波频率。进一步地，我们可以求出■a（t）的傅立叶变换的表达式 FT（■a（t））=2π■An？啄（？赘-？赘s）；可见，我们完全可用An代表■a（t）的傅立叶变换的幅度。最后，我们可以推导出An与Xa（j？赘）之间的关系：An=■Xa（j？赘）|？赘=n？赘s。通过上面的分析可以看出，周期连续信号■a（t）的频谱An是非周期连续信号xa（t）的频谱Xa（j？赘）的采样；或者说，一个有限长带限信号（非周期的），在时域里经过周期延拓后，得到的周期函数的频谱是非周期函数的频谱的离散化。

对于非周期离散信号x（n）：它是由原始信号xa（t）经过采样得到采样信号■a（t），再对■a（t）在时间轴上经过处理得到的。因此，x（n）在幅度上完全等价于■a（t）；进一步地， x（n）的频谱与■a（t）的频谱在广义上应该是等价的。从表1中的第三种情况可以看出，非周期离散信号x（n）的频谱是原始模拟信号xa（t）的频谱的周期延拓。

通过对表1的第二种情况和第三种情况的分析，我们可以得出这样的结论：时域的周期延拓对应于频域的离散化；时域的离散化对应于频率的周期延拓。有了这个结论，对于表1的第四种情况，我们以第二种情况或第三种情况为参考，均可得到相应的结论。我们也可以经过推导得到 ■（K）与X（ejw）与之间的关系：■（K）=X（ejw）|■。

2.离散傅立叶变换定义的引入。我们已做过定义的四种傅立叶变换均不能满足输入为有限长序列，输出亦为有限长序列的需求。为了解决利用计算机进行傅立叶变换的计算问题，我们必须要引入输入、输出均为有限长序列的离散傅立叶变换（简称为DFT）。但是DFT也不是凭空出来的一个定义，它与前面四种信号的傅立叶变换是有联系的。由于■（n）？圮■（K）变换对的时域和频域均为周期信号，而且周期信号所包含的信息可以用其一个周期的波形来完全表达；所以，我们有理由将周期离散信号■（n）的一个周期作为DFT的时域输入，将■（n）的频域■（K）的一个周期作为DFT的频率输出；这样既能保证DFT的输入、输出均为有限长序列，又能保证DFT定义的时、频域可以完全代表■（n）？圮■（K）的时、频域的信息量。我们可以在离散周期信号的傅立叶变换的基础上推导出DFT的定义。我们可以用■（n）RN（n）表示■（n）的一个周期，记为x（n）；用■（K）RN（n）表示■（K）的一个周期，记为X（K）；假设■（n）、■（K）的周期均为N；而且■（n）？圮■（K）为傅立叶级数（简称为DFS变换对）；我们记X（K）=DFT[x（n）]，下面简单推导一下DFT的计算定义式，

X（K）=DFT[x（n）]=■（K）·RN（K）=DFS[■（n）]·RN（K）

=■■（n）·e■·RN（K）（-∞

=■■（n）·e■ （0≤k≤N-1） （7）

=■x（n）·e■

本文以信号处理类课程教学中“概念的引入”为切入点，将信号处理类课程中的理论推导和实践理解结合起来，取得了不错的效果。

参考文献：

[1]龚英姬.引导教学法在《信号与系统》教学中的应用[J].河池学院学报，2009，（20）：110-112.

[2]王霞，姚远.“信号与系统”教学中工程实践能力的培养[J].电气电子教学学报，2012，（34）：13-15.