第五章 简单机械 功和能

【考点梳理】

1. 力臂，杠杆平衡条件，三类杠杆的特征及应用.

２. 定滑轮和动滑轮，滑轮组的组装设计.

3. 轮轴和轮轴滑轮的组合机械.

4. 功的原理，功的等效性计算，斜面和螺旋的应用.

5. 做功的两个必要条件，功的计算，功率的定义，功率的计算及测量.

6. 有用功、额外功、总功的判断，机械效率的计算，影响机械效率的因素.

7. 动能，重力势能，弹性势能，动能和势能可以相互转化，机械能守恒定律及条件.

【考题精讲】

例1 俗语说“一个和尚挑水吃，两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”，真的是这样吗？现有两根自重可忽略不计的硬棒和一个水桶，如图5-1所示装置，D为硬棒BC的中点.请你帮忙设计将水桶悬挂后，三个和尚分别在A、B、C共抬一桶水时，各自承受的压力大小相同.说明悬挂点的判断依据.

例2 一条河沟的两边，各有一人想到河沟的另一边.现河沟两边各有一块结实的，长度、质量都相同的木板，但木板长度都略短于沟宽.试问，应该用什么方法可使两人各自到达沟对面.设：木板质量m0.两人质量分别为M和m(M＞m)，木板长l.

［分析］ 一块木板不够长，很显然会想到将两块木板搭起来使用，如图5-2所示.为了使人走在板上时保证不倾翻，应先让质量较大的人先过，这样质量较小的人再过就绝对没有问题.因此应以图5-2所示搭法进行计算.左边木板以沟边沿O点为支点，其左侧有木板自重m0g和人重mg，其右端最大受力是另一个人重Mg和右边木板对此的压力，由于右边木板另一端在地面，因此两端受力为1/2m0g.根据杠杆平衡条件进行计算求解.

［解答］ 设质量较小的人所在一边的木板，伸出沟边的长为l1，如图5-3所示的杠杆受力图，可列出相应的杠杆平衡计算式.

例3 在不计滑轮重及拉线质量，滑轮转动摩擦等影响下，利用一动一定两个滑轮组装后，能用重物三分之一的力匀速提升重物.图5-4所示已经给出一种方法，请再设计两种能满足要求的连接方式.

［分析］ 滑轮尽管是一个变形的杠杆，但滑轮组仍可看作为物体平衡状态下的受力情况.要求绳自由端只需重物重力的1/3即可匀速提升重物，说明作用于重物上的拉绳合力应为G.由于动滑轮两边连接绳的段数不同，在总的力平衡条件下，每段绳子的拉力是相等大小的，因此可设计出F=1/3G的另两个组合.

［解答］ 如图5-5所示（a）、（b）

例4 分析比较人在行走和骑自行车通过相同距离过程中，人所花费的力F1和F2，人所需要做的功W1和W2大小关系.在此对比过程中，你认为与“功的原理”所述内容是否有矛盾？为什么？

［分析］ 从力和运动的关系中讨论，人在步行时依靠鞋底与地面的静摩擦力，使人前进；人在骑车时通过一系列轮轴关系，克服空气阻力及轮子的滚动摩擦力，相比较后者是比较小的.从做功角度讲，人在步行时由于腿部提高而提升人体自身重心位置，即要做功，而腿步放下时人体重力势能最终转化为脚与地面相撞时的内能，即每走一步都要做功；人在骑车时左右两脚一上一下，如在平路上行驶时则可视为人骑车时的重心位置基本不变，不需在此做功，同时踏蹬每转一圈，车轮要转多圈，因此显然骑车时做功也少.

［解答］ F1＞F2，W1＞W2.功的原理告诉我们任何机械使用时都不省功，是指在完成相同功的情况下，采用不同的方式.本题是在“通过相同的距离”并不是做相同的功，因此本结论与“功的原理”不存在矛盾.

例5 木棒OA可绕O点做无摩擦的转动，斜搁在一块不光滑的木条BC上，BC置于水平地面，如图5-6所示. A处于BC板的中点.若用水平向左的力FB（图中虚箭头所示）将BC从OA下匀速抽出时所需要的功为WB；若用水平向右的力FC（图中虚箭头所示）将BC从OA下匀速抽出时所需要的功为WC.则比较它们大小关系是（ ）.

A. WB＞WC B. WB＜WC

C. WB=WC D. 不好判断

［分析］ 表面上看木棒OA对木板的压力相同，但由于木板运动时，木棒A端受到的摩擦方向不同，引起压力大小不同，最终导致摩擦力大小不同，因此使木板匀速运动的拉力也不相同，即使木板移动距离相同，但力做功是不等的.分析OA受力，以O为支点的受力示意图如图5-7（a）、（b）所示.a图为作用于B端水平匀速向左拉动，b图为作用于C端水平匀速向右拉动.根据杠杆平衡条件可列出如下关系：a图中满足Gl+fB lf=NB•lN；b图中满足Gl-fC lf=NC•lN .由图示可知，两种情况下重力、摩擦力、支持力的力臂前后相等，以计算关系中可得NB＞NC，fB＞fC ，而木板与地面间的滑动摩擦力也是向左拉动时大，即FB＞FC .依据W=Fs.在s相同时，W与F成正比，所以WB＞WC?.

例6 有两个质量相同的小球，在离地面相同高处分别以v1竖直向上抛出A球，以v2竖直向下抛出B球，已知v1＜v2,则下述结论中不正确的是（ ）.

A. A球的机械能始终小于B球

B. 两球落地后反弹到相同高处时，A球的动能小于B球动能

C. 两球反弹后能达到的最大高度可能相同

D. 两球落地瞬间A球速度小于B球速度

［分析］ 物体的机械能是动能和势能的总和，在质量相同时，动能大小只与速度大小有关，而与速度方向无关，因此抛出时A球动能就小于B球动能.重力势能大小与物体质量和举高的高度有关，本题初始条件中这两个因素都相同，因此抛出时两球重力势能相同，由此可见抛出时A球机械能小于B球机械能.在上、下反弹运动过程中，不计阻力因素应该是机械能守恒.A选项正确；在同一高度时，A球机械能小于B球而两球重力势能相同，所以A球动能要小于B球，选项B也正确；两球反弹到最大高处时，动能都为零，机械能全部表现为重力势能，由于A能量小于B，故A达到的最大高度一定比B能达到的最大高度低，“可能相同”是绝不可能的；同理落地瞬间机械能全部表现为动能，A动能小于B，故A速度小于B.

［解答］ 本题应选C.

例7 图5-8是“神仙葫芦”的简易起重装置，它是由轮轴组成的定滑轮和一个动滑轮组成滑轮组.轮轴中轮半径为R，轴半径为r，动滑轮直径为d.当绳上作用力F时，恰能匀速提升重物.请在不计滑轮重，拉线质量及转动摩擦的条件下计算物体G的大小.对此装置，你能提一条更省力的改进方法吗？

［分析］ 根据“功的原理”可知：任何机械工作时都不能省功，即功具有等效性.设在力F作用下轮轴转一圈，拉下20πR距离，但同时由于轴转动，拉绳又回缩2πr距离，这样动滑轮两边绳就表现为右侧上升移动2πR，左侧下降移动2πr，实际绳拉升2π（R-r）距离，由于动滑轮缘故，重物上升为绳提升距离的一半.即Fs=Gh，找出s与h关系，即可解得重物重力.同时，从关系式中可判断更省力的措施在于减小轮半径或增大轴半径.

［解答］ 设F拉下移动2πR，则悬挂动滑轮绳将上升2π（R-r），重物上升h=π（R-r）,

例8 一根长1m，质量为2kg，均匀的粗绳，一半置于表面光滑的水平桌面上，另一半悬挂在桌边，桌子高为1.5m，如图5-9所示.先用力按住a端，放开力后让绳自由滑动，求：当绳子下端刚触地时，绳子的动能有多大？（g取10N/kg）

［分析］ 由于不计阻力，所以整个过程机械能守恒，重力势能的减少值就是绳子动能的增加值，即绳子动能.另外绳子重力势能的减小值又等于重力做功.本题绳子重力自身做功应分两阶段计算.第一阶段是绳子开始涌动到上部全部离开桌面，第二阶段是绳子整体下落到下端刚着地.第一阶段绳子的下半段重力始终做功，而上半段绳子重心仅下降半段长度的1/2；第二阶段绳子整体再下降0.5m.

【夺标训练】

1. 如图5-10所示，是滑轮组与斜面的组合机械.已知：斜面高h=1m,斜面长L=4m,物体G=1200N.（1） 在理想状态下，要使重物G能沿斜面匀速上升，作用在绳自由端上的拉力F至少是_____N；（2） 若滑轮组在图示情况下使用时机械效率为80%，则要使重物沿斜面匀速上升，作用在绳自由端上的拉力F′至少是_____N；（3） 在上述条件下，实际上使重物能沿斜面匀速上升时的拉力为150N，则说明物体在斜面上运动时受到的摩擦力为_____N，此时斜面的机械效率为_____，整个装置在拉动重物时的机械效率为_____.

2. 如图5-11所示的装置，A、B是叠放在水平桌面上的木块，一条绷紧的细绳绕过定滑轮系住A和C，此时整个装置（A、C）恰巧可作匀速运动，B仍相对静止在A上.不计空气的阻力，下述结论中是正确的有（ ）.

A. A、B、C的机械能总量守恒

B. A对C的拉力与A物受到桌面的摩擦力大小相等，方向相反

C. A与B之间没有摩擦力

D. 由于A物受到桌面摩擦力的作用而使A物体的机械能减小

3. 人骑自行车在上坡时，往往可以采用两种方法而使人感到省些力.a. 绕S型的弯路骑上坡；b. 上坡前先加速一下，然后再上坡.请从物理角度分析一下，这两种上坡方法中能使人感到轻松一些的原因是什么？

4. 一个内部装有均匀货物的正方体木箱，重G.置于极粗糙的水平地面上，若用水平拉力很难使其向右移动.现用“翻滚”的方法来移动木箱，如图5-12所示，以棱边C为支撑转动边.（1） 在刚翻动木箱时，作用于棱边A处的力至少是多大？画出其力的示意图.（2） 若用“翻滚”的方法，使木箱向右移动S距离，至少需做多少功？

5. 如图5-13所示的斜面和滑轮组合，不计滑轮和拉线质量及滑轮转动摩擦的影响.当物体A质量为500g,物体B质量为100g时，B物恰能匀速上升.求：当B物再挂上C物（图中未画出）为多大时，恰能使B物向下匀速运动？

6. 图5-14所示是古代的一种起重设备“差动辘轳”.大轮半径为R，小轴半径为r，摇柄到中心轴线的距离为L.不计动滑轮重及转动摩擦等影响，要想提升重G的物体，摇板上至少要加多少力？若R=15cm，r=12cm,L=0.5m,实际使用时，当摇柄上的力为400N时，恰能匀速提升重104N的重物，则此时该装置的机械功率为多大？

7. 如图5-15所示，一个人站在平板车上，通过滑轮组把自己拉向右匀速运动，人与车面保持相对静止.已知滑轮组在此时使用过程中机械效率为80%，车受到地面的阻力为120N，则人对平板车车面的摩擦力是多大？是什么方向？若小车匀速向右速度为10cm/s,则车上人收拉绳子的速度为多大？1min内人所做功为多大？（绳足够长）

8. 野外探测队员在发现某些矿石时，首先要测定其密度等物理属性，初步确定其基本性质.但由于野外工作的流动性，显然不能携带天平、量筒等精密、易碎的器材.探测队员有一种很简易的方法：取一支硬棒（细棍等物品）用细线悬挂某处（硬棒重心处）使其在水平位置平衡，如图5-16所示中的O点.将矿石挂于一侧，图示中的A点，再任意用一个小重物悬挂于另一侧并调节适当位置使硬棒仍在水平位置静止，即图示中的B点.然后取一容器（如瓷杯，小锅）放有水，并能将矿石浸没在其中（图中未画出容器），再调节小重物的悬挂位置，使硬棒再次在水平位置静止，如图示中的C位置.然后只要用刻度尺测量出OB和OC的长度，就可以测出被测矿石的密度.设：OB=l1,OC=l2,请分析推导出探测队员用此方法测定矿石密度的计算式.

9. 图5-17所示是一把杆秤称重物G时的情况.秤砣P置于B位置时，秤杆平衡.O点为提纽处，C点为杆秤的零刻度处.

（1） 杆秤的自重重心位置在（ ）.

A. AO之间 B. OC之间

C. CB之间 D. 不好判断

（2） 我们知道杆秤上相邻两刻度之间对应的所称物体的质量差值是相等的，因此杆秤上的刻度间隔是（ ）.

A. 从C点开始向右逐渐变密

B. 从C点开始向右逐渐变疏

C. 从C点开始向右是均匀的

D. 上述三种情况都有可能

10. 在某砌墙的工地上，工人用如图5-18所示的简易滑轮组来将1t砖块提升至5m高的砌墙处.已知提升砖块的工人体重500N，该工人手臂的力可举起1200N的重物，已知每个滑轮重100N，盛砖块的网兜总重80N，不计拉线质量和滑轮的转动摩擦影响，求：在完成提升1t砖块的过程中，使用该机械所能达到的机械效率最大为多少？（g取10N/kg）

11. 下述各种现象的描述中，正确的说法是（ ）.

A. 人造卫星进入轨道后绕地球作匀速圆周运动时，地球对卫星的吸引力要做功

B. 汽车在加速行驶时，站在车厢地板上的人受到地面的静摩擦力对人要做功

C. 放在唱机转盘的物块随转盘做匀速转动时，物块受到转盘的静摩擦力对物块做功

D. 大型游乐玩具“过山车”当人车沿轨道通过最高处时，其动能为零，势能最大

12. 对不等臂的天平，可采用“覆称法”测物体质量.即：将物体先放在无法调节空载平衡的天平左盘，通过在右盘增减砝码调至水平位置平衡，记下砝码数m1;再将物体放入右盘，在左盘增减砝码调至水平位置平衡，记下砝码数m2.求：物体实际质量是多少？

13. 如图5-19所示，是一个测定电动机输出功率的装置.在电动机的机轴上装有一个半径为20cm的转轮，在转轮上套有一条皮带，右侧下端挂一重物G=60N，左侧下端与一个固定在地面竖直放置的弹簧测力计相连.当让电动机全功率转动时，测得转速为50R/s，稳定时测力计示数为85N.若不计皮带、测力计、转轮的质量影响，求：电动机的输出功率是多大？

参考答案：1. （1） 100， （2） 125， （3） 25， 92.3%， 73.8% 2. C 3. 提示：a. 在做功相同时增大做功距离而减少做功的力；b. 增加动能有利于转化为更多的重力势能而少做功 5. 50g 6. 75% 7. 50N，水平向左，0.3m/s，900J 9. （1） A；（2） C 10. 81% 11. B

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