利用导数证明不等式的几种方法

摘 要 导数是高等数学中一个十分重要的概念，本文结合实例论述了利用导数证明不等式的几种常用方法。

关键词 导数 不等式 证明方法

中图分类号：O17 文献标识码：A

Some Methods of Using Derivatives to Prove Inequality

JIANG Shihui, JIAO Keyan

(Department of Information Engineering, He'nan College of Finance & Taxation, Zhengzhou, He'nan 451464)

Abstract Derivatives of higher mathematics in a very important concept, this paper discusses examples demonstrate the use of derivatives of several common methods of inequality.

Key words derivative; inequality; method of proof

不等式的证明在高等数学中也是比较常见的题型，不同类型的题目有不同的解法，当题目给出的函数可导时，利用导数求解不失为一种较好的方法，现将几种常用方法介绍如下。

1 利用导数和函数的单调性证明不等式

这是不等式证明的一种重要方法，若题型为“求证：当时，，、可导；” = ，则其解题步骤是：令 = ，，其中 = = 0，从而将要证明的不等式“当时，”转化为证明：“当时，＞”，接着，再证明＞0，即可得到“当时，＞”，所以当时，得证。

例1 当＞1时，证明不等式：＞。

证： 设 = ，显然在[1，+∞)上连续，且= 0。

= = (1)

显然，当＞1时，＞0，故是[1，+∞)上的增函数。

所以当＞1时，＞ = 0，即当＞1时，＞成立。

其实这个方法只对一部分不等式适用，即当＞时，＞，且 = 单调增加。而实质上，当 = ＞0时，上述题型即可得证，至于单调增加则是不必要的。故上述方法是证明不等式的一个充分不必要方法。

例2 证明：∈(0，1)时，＞。

证：设 = ，显然在[0，1]上连续，且 =0， =1-2x。

显然，当∈(0，1/2)时，＞0，故是(0，1/2)上的增函数。

所以，当∈(0，1/2)时，＞ = 0，即当x∈(0，1/2)时，＞成立；

当∈(1/2，1)时，＜0，故是(1/2，1)上的减函数。

所以，当∈(1/2，1)时，＞，即当∈(1/2，1)时，＞成立；

综上所述，当∈(0，1)时，不等式：＞成立。

由例2我们可以发现，＞0在区间（0，1）内不恒成立，但仍然有不等式成立。这进一步说明例1的证明方法是充分而不必要的，深入思考，上述方法可以改进为：令 = ，，其中 = ≥0、 = ≥0，从而将要证明的不等式“当时，＞”转化为证明：“当时，＞0”。

证明可分以下几种情况：（1）若能证明＞0，则得到“当时，＞≥0”，即时，成立；（2）若能证明＜0，同样可得到“当时，＞≥0”，即时，成立；（3）若存在点∈()，当时，＞0，则得到“当时，＞≥0；当时，＜0，则得到“当时＞≥0”，所以可得：时，。

2 利用lagrange中值公式

例3 证明：＜＜, (0＜＜)。

分析：把不等式可以改写成()＜＜()。

可见“”是函数在区间[]两端值之差，而()是该区间的长度，于是可对在[]上使用拉格朗日中值定理。

证：设 = ，则 = 。在[]上运用拉格朗日中值公式，有 = = ()，(＜ ＜)

又因＜＜，于是，有()＜＜()

即＜＜

该方法一般适用于证明“可导，求证：与的大小关系”问题。

3 利用导数和函数的最值

有些不等式的证明可转化为讨论的最大值（最小值）与0的关系问题，例如是函数在定义区间上的最大（小）值，则一定有＜（或≥），那么要证的不等式，可转化为≤0（≥0）。

例4 证明不等式≤()。

证：设 = (1 )，则： = - = (1)

令 = 0，得唯一驻点 = 1，又当时，＞0；

当＞1时，＜0；从而是在(0,+∞)上的最大值，

即有≤ = 0，所以 (1 )≤0，

即：≤()。

4 利用函数图形的凸性

我们知道，在()内，若＞0，则函数 = 的图形下凸，即位于区间[, ]的中点处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标，即有： () ≤

其中, 为()内任意两点。等号仅在 = 时成立。

例5 设＞0，＞0证明不等式 + ≥ ( + )且等号仅在 = 时成立。

分析：将不等式两边同时除以2，变形为：

≥

便可看出，左边是函数 = 在两点，处的值的平均值，而右边是它在中点处的函数值，这时只需≥0即可得证。

证： 设 = ，即 = 1 + ， = ＞0，

故由[ + ] = ()得 ≥ ，

即 + ≥ ( + )，等号仅在 = 时成立。

总之，导数为证明不等式提供了不少有效的方法，使用时究竟用哪种方法更合适，很难给出一个肯定的回答，需要根据不等式的具体形式来加以选择，有的可以用多种方法证明。要想掌握利用导数证明不等式的这些方法，就需要平时多练习，熟能生巧。

参考文献

[1] 同济大学数学系主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社.

[2] 赵树.微积分(修订本)[M].北京:中国人民大学出版社.

[3] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育出版社.