上证指数的奇异吸引子分析与实证

[摘要] 本文验证了上证指数具有正的Lyapunov指数，说明上证股市存在奇异吸引子。这表明对股票价格的长期预测是不可能的。

[关键词] 吸引子 混沌 Lyapunov指数 关系维数

一、国内外学者对股价波动的研究

股票市场有效性EMH(Efficient Market Hypothesis)的研究是股票市场研究的基本问题之一,是现代股票市场的奠基理论。股票市场有效性理论的产生与发展是一个渐进的过程。1953年英国统计学家Kendall在其《经济时间序列分析,第一篇:价格》一文中研究了19种英国工业股票价格指数和纽约、芝加哥商品交易所的棉花、小麦的即期价格周期变化规律,在做了大量序列相关分析后,发现这些序列就像在随机漫步一样,下一周的价格是前一周的价格加上一个随机数构成,提出了股票价格遵循一种随机游走(RandomWalk)模式。1959年Roberts揭示了这些股票市场研究和金融分析的结论所隐含的意义。Kendall、Working和Roberts提出的投机价格序列虽然可以用随机游走模型的观点进行很好描述,但他们并没有对这些假设进行合理的经济学解释。

二、相关概念

1.奇异吸引子

一个耗散系统,由于耗散因素的作用,随着时间的增长,相体积不断地收缩,所以耗散是一种整体的稳定因素,它使运动轨道稳定地收缩到吸引子上。如果在相体积收缩的同时,沿某一方向的运动出现局部不稳定,那么怎样才能在有限的几何对象上实现指数分离呢?那就只得将运动轨道无穷折叠、扭曲和拉伸,从而构造出一种新的几何对象,即奇异吸引子。所以奇异吸引子是整体稳定和局部不稳定共同作用的产物。而对奇异吸引子的刻画主要是Lyapunov指数和分数维。

2.Lyapunov指数

考虑一个n维的动力系统。选一个点,并取一个中心在该点的一个小的n维的球,随着时间的增加,球将变形成为一个近似的椭球。在球的初始直径趋向于零的极限情况下,映像保持与椭球相同的时间将趋向于无穷大。用数学公式来描述如下：

对于一个n维系统来说,Lyapunov指数为

W(t)为切向量,W(0)为初始误差,LE代表相邻轨道在相空间的平均指数辐散率,LE的各个分量就是Lyapunov指数,将它们从大到小排列

称这n个数为Lyapunov指数的谱,其中LE1称为最大的Lyapunov指数。如果系统是混沌的,则至少有一个指数是正的,所以只要求出最大Lyapunov指数为正,则可证明系统是混沌的。

对于n维的股票价格系统来说,正的最大Lyapunov指数意味着至少存在一个因素,如果该因素有个微小的变化,在系统各因素非线性的相互作用下,经过一定时间的演化,这种改变将会指数倍放大,表现为价格的剧烈波动。这种对初始值的敏感表明了系统是混沌的。

5.分数维

刻画吸引子的另一个指标是分数维。它表示相空间中的吸引子是一个具有非整数维的几何体,具有自相似结构。自相似性是分形的本质,分数维是度量自相似性的特征量。这种自相似指曲线的整体与局部的自相似性。维数有许多种不同的定义或度量方法,本文采用的是关联维数。1983年,Grassberger和Procaccia利用了嵌入理论,提出了用时间序列直接计算关联维数的算法,简称G-P算法，吸引子的关联维数可表述为：

三、实证分析

1.样本选择

为了获得相互映证的效果,在选取了上海综合指数和深圳成份指数周收盘价的基础上,还分别从上海股市和深圳股市各选取了10只股票,样本区间为1992年12月28日到2005年3月31日,样本数为720。

2.计算关联维数

笔者编写了C语言程序来计算关联维数。在计算关联维数时,需要注意两个问题,一个是延迟时间的选取,一个是r值的选取。关于延迟时间的选取基于下面的原则,即相空间内元素之间的相关性最弱。测量码尺r存在一个合理的取值范围。一般说来,r取值的上限为N2m/2，r值也不能取太小，因为r值太小数据会受到噪声的影响。根据这个原则笔者选取了一些r值,然后把所有求出的关联积分的对数序列和r的对数序列进行回归,得到的回归直线的斜率就是所求的关联维数。当m逐渐增大时,关联积分的逐渐收敛。在m=26时，关联维数稳定于3.61。

3.计算Lyapunov指数

对于给定函数关系的系统来说,Lyapunov指数可以采用定义法来计算。但对于未知系统来说,计算该指数有Wolf方法、Jacobian方法和p-范数方法。笔者据此编写了算法,当我们取τ=6,每步运行时间t=6,得最大Lyapunov指数收敛于0.0025。这个正的Lyapunov指数说明股票价格波动中的吸引子为对初始条件具有敏感性的奇异吸引子。吸引子这种对初始条件敏感的性质说明上证股指价格波动具有明显的混沌现象。

股票价格吸引子对初始条件的敏感性使得系统价格长期预测成为不可能,只有可能做出短期的预测。

四、结论

股票价格的波动中存在吸引子,该吸引子是具有分数维和敏感依赖性的奇异吸引子。股票价格的波动不是杂乱无章的随机波动,它趋于低维的吸引子从而使整个股价系统的结构呈现出一种稳定的结构,但由于奇异吸引子的特性使股价会在某种状态下产生剧烈波动,并且内部结构也可能产生突变,因此对股票价格的长期预测是不可能的。

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注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。