用于实体退化单元的等参逆变换实用方法

【前言】用于实体退化单元的等参逆变换实用方法由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。1. 引言 实体退化单元是引入板、壳等各类构件的假定后得到的一种改进等参单元类型。这种单元采用分块积分技术计算单元刚度矩阵，既能精确描述结构的实际形状，保证较高的计算精度，也能以较小的单元规模进行高效率的计算分析，因而在结构分析中有广泛的应用前景[1, 2]...

[摘要] 实体退化单元是一种改进的等参单元类型，在结构分析中能够发挥重要的作用。这种单元在应用中需计算单元几何分块任意顶点在其母单元中的坐标，因而不易使用。为解决此困难，提出二维二分法的思路，针对平面四边形单元进行迭代求解任意点的母坐标；给出改法的流程图及计算式，并通过对某钢箱梁的建模验证了改法的有效性和实用性。

[关键词] 实体退化单元；等参逆变换；二分法；实用方法

Abstract: Degenerated solid element is a kind of updated isoparametric element and could play an important role in structural analyses. This kind of element needs to calculate mother cell coordinates of any blocks’ nodes and this led to the difficulty of using this element. A 2D dichotomy was proposed to solve this puzzle by iterating to gain the mother cell coordinates for arbitrary quadrilateral elements. The progress and formula was also provided. And the validity and utility of this method was proved by building up the model of a given steel box girder.

Key words: degenerated solid element; isoparametric inverse transformation; dichotomy; practical method

中图分类号：TM464文献标识码： A 文章编号：

1. 引言

实体退化单元是引入板、壳等各类构件的假定后得到的一种改进等参单元类型。这种单元采用分块积分技术计算单元刚度矩阵，既能精确描述结构的实际形状，保证较高的计算精度，也能以较小的单元规模进行高效率的计算分析，因而在结构分析中有广泛的应用前景[1, 2]。在大型工程结构分析中的应用表明，实体退化单元在计算精度上与实体单元相接近[2]，能够对结构的强度、稳定性等问题进行有效的分析。

相比较一般的等参单元，实体退化单元在建立模型的过程中存在着一定的困难[3]。主要表现在：在实际应用中，需计算单元几何分块任意顶点在其母单元中的坐标。此时，因坐标插值形函数仅能将母单元中的坐标变换为等参单元中的坐标但却无法列出显式逆变换而无法根据等参单元坐标求解母单元中的坐标[4]。为解决这个应用中的实际困难，通常有两种思路，一是在建立模型时使得每一个单元都具有规则的几何边界，以使求解母单元坐标简单可行，但这种方法会使得结构构件的截面被分解至多个单元中，较为繁琐；另一种方法是寻找可行的逆变换求解方法，使得求解具有不规则边界的等参单元的母单元坐标可以得到满足精度要求的结果。本文采用第二种思路，试图寻找到一种方便可行的实用方法。

2. 二维二分法

针对平面四边形单元，本文提出采用二维二分法进行迭代求解任一点的母坐标。对图1所示任意四边形单元ABCD，求其中一点P的母坐标，可首先做出对边中点连线得到四个小四边形，记P点所在第i级四边形为A(i)B(i)C(i)D(i)，因A(i)B(i)C(i)D(i)位于各对边中点连线上，因而其母坐标可通过该中点连线或边界线直接计算。当满足如下关系时终止迭代：

（1）

式中，为第i级四边形边长，为相应于的四边形单元边长，为给定数值。此时可按下式计算P点母坐标：

（2）

按上述方法计算P点母坐标，关键问题之一在于判定P点所在四边形。对于这个问题，可以采用面积法加以解决。

已知任意四边形JKLM的顶点坐标与任意点P，由平面几何相关知识可求出该四边形的面积，记为。连接P与四边形JKLM的各顶点，得到四个三角形PJK、PKL、PLM、PMJ，同样的方法可以求得其各自的面积，分别记为、、、。

图1 采用二维二分法计算四边形单元中任一点的母坐标

当四个三角形的面积与四边形的面积满足如下关系时，即可判定点P在四边形JKLM内：

（3）

否则，则点P在四边形JKLM外。

依据式（3）对图1所示的任意点P与四个小四边形的位置关系依次进行判定，即可找出P所在的四边形。

计算流程如图2：

图2 采用二维二分法计算四边形单元中任一点母坐标流程图

3. 应用实例

采用上述方法对图3所示钢箱梁截面进行等参单元母单元坐标，以挑臂单元中加劲肋钢板端点P、Q为例，其在母单元中坐标见表1；采用该方法建立的实体退化单元见图4。

图3 某钢箱梁截面及单元划分

表1P、Q的坐标

图4 某钢箱梁节段效果图

4. 结论

采用本文提出的方法可以方便快捷的计算等参单元中节点在母单元中的坐标，从而使得实体退化单元的应用难度大大减小。本文的方法既适用于规则的四边形单元，也适用于不规则四边形单元。采用该方法得到的结构有限元模型能够精确描述几何特征，反映结构的细部信息。

参考文献

[1] 汪劲丰，吴光宇，林泉，等. 预应力混凝土曲线桥极限承载能力分析[J]. 工程力学. 2008, 25(8): 85-91.

[2] 牛辉，汪劲丰，张巍，等. 基于实体退化单元的高墩非线性稳定仿真分析[J]. 浙江大学学报（工学版）. 2012, 46(6): 1082-1089.

[3] 凌道盛，徐兴. 非线性有限元及程序[M]. 杭州: 浙江大学出版社, 2004.

[4] 周艳国，陈胜宏，张雄，等. 改进的等参逆变换算法在耦合场分析中的应用[J]. 岩土力学. 2008, 29(11): 3170-3173.