例谈完全平方公式的一组推广公式在初中数学竞赛中的应用

摘 要：完全平方公式是初中数学里一个非常重要的公式，也是初中各类数学竞赛关注的热点.关于完全平方公式的文章已有很多，但对完全平方式的推广公式在竞赛中的应用没有涉及，通过对近年来各类初中数学竞赛中出现的相关试题做出分析与总结，谈谈完全平方式的推广公式解初中数学竞赛题中的应用，仅供参考.

关键词：完全平方公式；数学竞赛；推广公式

由两个基本的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2，我们可以推广得到以下一组公式：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（1）

（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2=2（a2+b2+c2）+2（ab+bc+ac）（2）

（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ac）（3）

（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2=（ac-bd）2+（ad+bc）2（4）

由（1）可得：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）（5）

由（2）-（1）得：a2+b2+c2=（a+b）2+（b-c）2+（a+c）2-（a+b+c）2（6）

由（3）+（1）得：a2+b2+c2=■[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2+（a+b+c）2]（7）

由（2）+（3）得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]（8）

灵活选用以上公式，可以简单、快速地求解一些竞赛题，下面请看一些例子.

例1.有3个正整数a，b，c，且a>b>c，从中任取2个有3种不同的取法，将每种取法取出的2个数分别作和与作差，得到如下6个数：42，45，64，87，109，151，则a2+b2+c2=（ ）（2013“希望杯”初二第2试）

A.12532 B.12533

C.12534 D.12535

解析：由于本题是求三个整数的平方和，且题目给出了三个数中任意两个的和与差，满足公式（8），直接利用公式（8）可得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]

=■[（422+452+642+872+1092+1512）]

=■（1764+2025+4096+7569+11881+22801）=12534

故正确选项为C.

评注：通过以上解析过程可以发现，此解法根本不需要a，b，c为正整数及a>b>c这两个条件，事实上，只要知道这三个数中任意两个的和与差即可求出它们的平方和。出题者可能是考虑到有些学生可能想不到这个公式，因此加上这两个条件，引导学生从三个整数的大小关系入手，结合作和与作差所得的6个整数进行逻辑分析，求出a，b，c的值，然后代入计算得出答案。虽然也能得到正确解答，但是如果能从整体上把握题目特征，利用变形公式求解，就显得简单、明快.

例2.已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=49，a+b+c=a3+b3+c3=7，求a，b，c的值.

分析：由已知条件联想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+

2ac，然后获得解题思路.

解：a2+b2+c2=49，a+b+c=7，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即49=49+2ab+2bc+2ac，

ab+bc+ac=0，从而可得：

a2b+a2c=-abc，ab2+b2c=-abc，ac2+bc2=-abc，

7=a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=7×49+3abc，

abc=-112.

评注：解答本题的关键在于根据条件联想到公式，然后构造相关代数式求解.把此题稍加改变，就得到下面这道竞赛题：

例3.若实数a，b，c满足a+b+c=2，ab+bc+ac=0，abc=-1，则a3+b3+c3= .（18届“华杯赛”初一）

分析：由已知条件联想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，从而求出a2+b2+c2，然后再构造代数式a3+b3+c3求解.

解：a+b+c=2，ab+bc+ac=0，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

a2+b2+c2=4，

从而a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

由ab+bc+ac=0，abc=-1得：a2b+a2c=1，ab2+b2c=1，ac2+bc2=1

a3+b3+c3=2×4-3=5.

评注：解答本题的关键在于根据题目条件想到推广公式（1），构造出所要求的代数式。以上两例本质上是一样的，事实上，稍加分析以上两题解答过程可得

a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=（a+b+c）[（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）]-（a+b+c）（ab+ac+bc）+3abc

=（a+b+c）[（a+b+c）2-3（ab+bc+ac）]+3abc

因此，四个代数式a+b+c，ab+bc+ac，a3+b3+c3，abc，知其中任意三个的值，可以求出另外一个的值。

例4.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1.（1）求ab+bc+ca的值；（2）求

a4+b4+c4的值（2009年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛）.

解：（1）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得：

ab+bc+ca=■[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]=-■

（2）a4+b4+c4=（a2+b2+c2）2-2（a2b2+b2c2+a2c2）

=1-2[（ab+bc+ca）2-2abc（a+b+c）]=1-2×（-■）2=■.

评注：本题考查对推广公式的灵活运用。

通过以上例子可以发现：各类数学竞赛中都比较注重对完全平方公式及其推广公式的考查，所考查的知识点源于课本，又高于课本，并且有些赛题具有相同的思维本质，只是形式上有所差别而已，这就要求在平时学习过程中，不仅要掌握课本上的基本知识，还要养成深入探索与之相关知识的习惯，在解题练习中不能只满足于某道题的答案正确，还要多思考一下题目的本质是什么？关键点在哪？可以怎样拓展？不断总结，积累经验，培养观察、发现、类比、联想能力，形成良好的思维品质。这样学习数学，才会越学越轻松，越学越有趣。

（作者单位 深圳大学数学与计算科学学院2011级研究生）