寻易错之源,觅纠错之道

在解有约束条件的二元不等式时，很多考生会利用不等式的性质来求解，但由于很多考生对不等式性质和解不等式只停留在机械记忆的层面上，所以很容易把范围扩大也没有察觉.究其原因：主要是考生没有深刻理解不等式证明和解不等式的本质区别，因此我们必须要深刻理解解这类不等式易错之源，觅其纠错之道，下面笔者结合典型的例子一起去和大家去寻找其源与流.

一、展示错解 根深蒂固

有以下这样的一类解不等式题目，让诸多考生“屡做屡错”.

例1. 已知2≤a+b≤4，1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.

错误展示1：由1≤a-b≤2…①

2≤a+b≤4…② ，①+②得3≤2a≤6，因此 6≤4a≤12…③，再由②-①得1≤2b≤2，因此-2≤-2b≤-1…④ ，③+④得4≤4a-2b≤11，所以4a-2b的取值范围为[4，11].

错误展示2：由已知得1≤a-b≤2…①

2≤a+b≤4…②，①+②得3≤2a≤6，因此 6≤4a≤12…③，①×（-1）+②得0≤2b≤3，因此-3≤-2b≤0…④，③+④得3≤4a-2b≤12，所以4a-2b的取值范围为[3，12].

【点评】通过调查发现，以上两种解法是考生中最为普遍的做法，但让他们再次仔细分析其过程，他们还是认为解法正确的，百思也不得其解，很难意识到自己的思维出现了问题，找不到问题的根源. 另外，就算有些考生能够做出正确答案，也是因为用线性规划来做或以前曾经做过这种类型，只是知其然而不知其所以然，这说明这种错因具有隐蔽性、深刻性和普遍性的特征，这也足见其错误在考生中是根深蒂固的，这些都是由于考生在理解知识方面具有片面性，对深层知识与方法存在理解缺陷，受思维定势严重干扰所致.

二、析错明因 正本清源

认真分析上面的两种“推理”的问题所在， 很值得我们深思！下面来进行深度分析，找出问题 “症结”所在.

分析：错误展示1中，很多考生会凭借自己的经验，其思维受解二元一次方程组的影响，通过消元求a、b的范围，简单地利用不等式的基本性质，“想当然”地简单“拼”出4a-2b的范围，究其原因，错误1中的主要是没有认识到不等式的性质只能是同向不等式相加，不能相减，用②-①而导致出错；而错误展示2表面看起来每一步都有理有据，很难看出其过程是否有问题.我们不妨来探究一下：当a=，b=0，满足≤a≤3和0≤b≤这个条件，但是a+b=?[2，4]这就与已知矛盾，从中可以看出错误展示2的解法肯定有问题，为什么会产生这样的情况呢？其实给出的条件中和是互相制约的，有其内在联系，对求得的≤a≤3，0≤b≤来说，当a取最大值（或最小值）时，b不一定恰好取到最大值（或最小值），这只是求不等式组的必要非充分条件.如果能注意到a和b的制约关系，就会避免单独解出a和b的取值范围.再次审视其过程：以上做法的错误在于利用不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不是充分必要条件，不具有可逆性，这样就把a和b的取值范围扩大了，这样所求的取值范围也随着扩大.我们找到了问题的“症结”所在之后，我们再次深度思考，为什么我们会存在这样的思维“缺陷”和定势呢？究其原因主要是考生对知识的理解存在缺陷：对不等式证明和解不等式的本质没有区分开来，我们可以从充分条件、必要条件、充要条件角度来分析：（1）证明不等式本质：不等式的加法性质：“如果a>b，c>d，那么a+c>b+d”，从条件来看，结论a+c>b+d是条件a>b，c>d必要不充分条件，而我们证明不等式时一般是由条件（或从结论出发，逐步寻找结论的充分条件）出发，寻找正确的答案，这时是在寻找已知不等式的必要条件，所以证明不等式时不需要充要条件；（2）而解不等式（即求取值范围）的本质是解集与已知不等式之间是充要条件关系（后者是前者的充要条件，即解不等式的过程是一个等价转化的过程）.如解不等式组x≥1，

x≥2的解集为{x│x≥2}，而这个过程每一步都是要等价转化的，如果由不等式加法性质来求，即2x≥3，从而得到x≥那就错了.由此可见，我们解不等式（或求取值范围）时，是从已知出发，逐步寻找充要条件，找每一步都是找前一步的充要条件（即要进行等价转化，不能扩大或缩小其范围）.现在我们再回过头来看错误展示2，此题属于求取值范围问题，应该是求充要条件（每一步要等价转化），但整个解题过程寻找的都是必要条件，这样肯定出错！

三、探窥解法 拓展提升

经过上述的深度剖析， 相信考生已经明白了错误根源所在，那我们对于这类错误有何纠错之道？我们由上面分析可知：求取值范围时只要保证每一步都进行等价转化即可，即只要将a和b的值都保持在“函数”里，这样就可以避免出错，得如下解法1：设m=a+b，n=a-b，所以得a=

，

b=

，即得4a-2b=m+3n，此问题等价于“已知2≤m≤4，1≤n≤2，求m+3n的取值范围.”再由2≤m≤4，1≤n≤2得5≤m+3n≤10，所以得4a-2b的取值范围为[5，10]，此时a=，b=时，4a-2b取得最小值5，a=3，b=1，4a-2b取得最大值10.通过这样处理我们就可以避免了错解展示2的那种错误做法，我们再进一步审视：由前面的分析可知：a和b相互受到制约，并且由2≤a+b≤4和1≤a-b≤2可知不等式组表示一个可行区域，这时我们可以用线性规划的方法来解决，得到解法2（利用线性规划求解）：由已知得1≤a-b≤2，

2≤a+b≤4， 其可行域如上图所示，即不等式组1≤a-b≤2，

2≤a+b≤4， 对应的实数（a，b）为图中阴影部分上的点，设z=4a-2b，由图可知：当在点A（，）时z=4a-2b取到最小值，当在点B（3，1）时z=4a-2b取到最大值，即a=，b=时，4a-2b取得最小值5，a=3，b=1，4a-2b取得最大值10，所以4a-2b的取值范围为[5，10]，通过线性规划来求4a-2b的取值范围，避免了反复使用性质定理而导致范围扩大，出现增根的现象，结果直观明了，不易出错.本题用线性规划求解尽管不如不等式性质求解简单，但也体现出以数论形的直观性，说明线性规划在解决这类不等式范围问题中的优越性.为了更好巩固以上解法，避免再次出错，我们再来看2道拓展题，拓展1：已知f（x）=ax2-c，-4≤f（1）≤0，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围；（这道题容易出现的错误答案是10≤f（3）=9a-c≤，用以上同样的两种方法可得正确的参考答案是-≤f（3）=9a-c≤20.）拓展2：已知f（x）=ax2+bx+c，-4≤f（1）≤0，-1≤f（2）≤1，0≤f（3）≤3，求f（5）的取值范围.（用同样的方法可求得正确答案是

-20≤f（5）≤26.）

四、小试牛刀 刻骨铭心

通过上面的错解分析和深度剖析，我们已经掌握易错之源，寻觅到纠错之道，这时我们只要再趁热打铁对下面的练习加以巩固，那么我们的体会收获将会更多！

1. 设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，求a的值.（提示：考生会有这样的错误：转化为（1）（a-1）x-1≤0，

x2-ax-1≤0 或（2）（a-1）x-1≥0，

x2-ax-1≥0 在x>0时恒成立；正确参考答案：原不等式的等价条件为当x>0时，（a-1）x-1，x2-ax-1同号，记f（x）=（a-1）x-1，g（x）=x2-ax-1，题目就是要求出a使得在x>0时f（x）=（a-1）x-1的符号与g（x）=x2-ax-1的符号始终相同.显然两个函数图像都过同一点（0，-1）.①当a=1时，因为（a-1）x-10，则必有g（x）=x2-ax-1与x轴交点与（，0）重合，命题成立.即（，0）在g（x）图像上，所以有（）2-x-1=0，整理得2a2-3a=0，解得a=，a=0（舍去），综上可知a=）

2. 若二次函数y=f（x）的图像经过原点，且1≤f（-1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围.（提示：可用上面介绍的两种方法来处理，参考答案：[6，10]）

3. 已知-≤α≤β≤，求2α-β的取值范围.（提示：可用上面介绍的两种方法来处理，参考答案：[-，]）

4. 已知6

总之，在利用不等式性质求解不等式范围时，要正确理解其性质，切不可盲目滥用，应注意不等式的应用方向，在解题过程中，要时刻保证等价转化（可以从充要条件来理解），抓住这一点，就可以避免范围扩大、性质失效的现象.同样也可以转化思路，利用数形结合（线性规划）的方法来求解.因此用以上两种方法来求解往往可以避免错误的发生，从而达到正确求解的目的.当然这还需要我们不断去领悟、体会和总结，从而真正寻到易错之源，觅到纠错之道.