时间：2022-09-20 10:29:17
摘要： 韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。但有人认为对已有定理的研究没有必要，其实我们如果对已有的定律或公式进行研究，往往会有新的收获，得到新的定理。本文主要阐述利用韦达定理解答一元n次方程的一些收获。
关键词： 韦达定理 一元方程 任意次幂之和
在数学中解一元n次方程是很平常的事情，但如果我们在解的过程中对其进行研究，可能会有新的收获，得到新的定理，例如韦达定理就是其中之一。笔者对于“一元方程根的任意次幂之和”也进行了一番探讨，得到了下列定理：
定理：设X （i=1、2、3、……n）是方程：X +a X +a X +……+a X+a =0的n个根，记S = x（k为整数），则有：S +a S +a S +……+a S =0。
证明：在方程x+a x+a X+……+a x +a =0（i=1、2、3、……n）的两边同乘以X ，得到X+a X+a X+……+a X+a X=0，以上n个等式相加即得：
S +a S +a S +……+a S =0?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇（1）
根据韦达定理，可求出Sk的几个初始值，通过递推式⑴即可求出方程n个根任意次幂之和的值。
特别是在n=3时，（1）化为S +a S +a S +a S =0?摇?摇?摇?摇?摇（2）
方程为：x +a x +a x+a =0
由韦达定理得：x +x +x =-a x x +x x +x x =a x x x =-a ?摇?摇?摇?摇?摇（3）
由（2）、（3），我们可以求出三次方程n个根任意次幂之和的值。
S =x+x+x=3S =x +x +x =-aS =x+x+x=a-2a S =x+x+x=-a+3a a -3a S =x+x+x=a-4aa +4a a +2a……?摇?摇?摇?摇?摇?摇（4）
由（2）、（3），还可以求出三次方程n个根负数次幂之和的值。
S =x+x+x=- S =x+x+x= -2 S =x+x+x=- +3 - ……?摇?摇?摇?摇?摇?摇（5）
从这个定理可以看出，方程的n个根任意次幂可由⑴式方便地求出，因此对于一些数学问题可以作出所涉及元素的辅助方程，以利用方程的理论、韦达定理、n个根任意次幂之和来帮助解答，常常可以将很难的问题化解为简单明了的解答。我们来看看以下的一些应用：
1.证明恒等式
例1.已知a+b+c=0，求证：
①a +b +c =3abc；
② = • 。
证明：设a、b、c是方程t +a t +a t+a =0的根，由a+b+c=0=-a ，得到a =0。
由（2）和（4）式可得到：S =a +b +c =a－2a =－2a ；
S =a +b +c =－a+3a a －3a =－3a ；
S =a +b +c =5a a 。
对于恒等式①a +b +c =－3a ，3abc=－3a ，则等式成立；
对于恒等式② = =a a ， • = • =a a ，则等式成立。
利用同样的方法我们还可以证明下列很多的恒等式：
①2（a +b +c ）=（a +b +c ） ；
②a +b +c =3a b c －2（ab+bc+ca） ；
③a +b +c =－abc（ab+bc+ca）；
④ = • ；
⑤（ ） +（ ） +（ ） =（ + + ） （x、y、z互不相等）。
2.求代数式的值。
例2.已知a+b+c=0，abc≠0，求 + （ + + ）的值。
解：设a、b、c是方程t +a t +a t+a =0的根。由上述分析得到a =0，S =－2a ，S =－3a ，S =- 。则有： + （ + + ）= + （ ）=0。
3.用来分解因式
例3.化简：①（x+y） +x +y ；②（x+y） -x -y ；③（x+y） -x -y 。
解：设（x+y），（-x），（-y）是方程t +a t +a t+a =1的根，（x+y）-x-y=0。由上述分析得到a =0，
①（x+y） +x +y =S =2a
=2［（x+y）（-x）+（x+y）（-y）+（-x）（-y）］
=2（x +xy+y ）
②（x+y） -x -y =S =-a S -a S -a S =5a a
=5［（x+y）（-x）+（x+y）（-y）+（-x）（-y）］（x+y）（-x）（-y）
=5xy（x+y）（x +xy+y ）
③（x+y） -x -y =S =-a S -a S -a S =7aa
=7xy（x+y）（x +xy+y ）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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