时间：2022-09-19 02:30:36
摘 要 不完备定理，是数理逻辑发展过程中的一个里程碑，它标志着自希腊时代以来，以内在“同一性”哲学为指导的形式逻辑发展到了其最高峰。与此同时，西方离散二分特色的逻辑思维模式基于内在矛盾――悖论的暴露开始被明确地提出。上述内在矛盾的存在，即协调时不完备抑或完备时不协调有其特定的适用范围――强公理系统，而并非具备绝对的普遍适用性。
关键词 强公理系统 悖论 不完备 相容 协调
中图分类号：B813 文献标识码：A
1 定理表述以及分析
在数理逻辑发展中，不完备定理是库尔特・哥德尔于1930年证明并发表的。其中第一定理表明：任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的――即，任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以蕴涵皮亚诺算术公理②，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。
存在不完备的体系这一事实本身并非是一个问题。因为通常来说，不完备的体系可能只意味着尚未找出所有必须的公理而已。但哥德尔揭示的是在多数情况下，例如在数论中，永远不能找出公理的完整集合――每一次将一个命题作为公理加入时，将总有另一个命题出现在现有的研究范围之外。也就是通常所谓的，在解决现有问题的同时（保证其内在协调性），引入了新的问题（产生了不完备）。诚然，确实可以在公理列表中进行穷举，但通过这种方式得到的公理列表将不再具有递归性。
一个公理系统可能含有无穷条公理（例如皮亚诺算术就是这样），要使得第一定理生效，必须存在检验证明是否正确的有效算法。例如，可以将关于自然数的所有在标准模型中为真的一阶语句组成一个集合。这个公理系统是完备的；哥德尔定理之所以无效是因为不存在决定任何一条语句是否作为公理的有效算法。从另一方面说，这个算法的不存在正是哥德尔定理的直接结果。因为，这样的命题之前已经在系统内部被证明。要充实对证明要点的描述，主要的问题在于：为了构造相当于“p是不可证明的”这样的命题p，p就必须包含有自身的引用，而这将会陷入无穷嵌套。
2 悖论与完备性的关系
把第一定理的证明过程在体系内部形式化后，引出了不完备第二定理。该定理指出：任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性。基于此，也就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。完备性的结论影响了数学哲学以及形式化主义（使用形式符号描述原理）中的一些观点。可以上述第一定理解释为“永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误”。而对第二定理的另一种表述则更令人失望：如果一个公理系统可以用来证明它自身的相容性，那么它是不相容的。以上就是由命题自身推导，得出自身逻辑求逆的悖论。
可以说，所有的悖论命题都是对于辩证矛盾命题错误地应用形式逻辑做出错误的逻辑分析和错误的逻辑表达而导致的。所谓悖论命题，从原逻辑方法论的观点看，其矛盾在于，在它的命题构成的深层具有永真的逻辑语义内容，而在结构的表层又同时具有永假的逻辑语法表达形式。从而使它成为形式逻辑的逻辑分析方法的不可解命题。对于出现悖论命题的思想体系来说，如果排除悖论命题，它必然是不完备的；而如果容纳悖论命题，它必然是不协调的。
3 使用范围的限定
悖论在自然科学体系中普遍存在，但是显示其存在的不完备定理却并非普遍适用。首先，该定理并不意味着任何的公理系统都是不完备的。例如，欧氏几何可以被公理化为一个完备的系统③。其次，哥德尔定理是一阶逻辑④的定理，所以最终只能在这个框架内理解。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上是错误的。再次，需要注意的是，哥德尔理论只适用于较强的公理系统⑤。“较强”意味着该理论包含了足够的算术以便承载对不完备定理证明过程的编码。基本上，这就要求系统能将一些基本操作例如加法和乘法形式化。
在计算机科学的语言中，第一定理的表述方式是这样的：在一阶逻辑中，定理是递归可枚举的――即可以编写一个可以枚举出其所有合法证明的程序。进一步追问，是否可以将结论加强为是否存在一个在有限时间内判定命题真假的编写程序？结论是不能的，因为这一程序的提出，本身就要受到第一定理的制约。也就是说，给出任意一条命题，将没有机械的方法判定它是否是系统的一条公理；如果给出一个证明，一般来说也无法检查它是否正确。理论上，哥德尔理论仍留下了一线希望：也许可以给出一个算法判定一个给定的命题是否是不确定的，以至于让数学家可以忽略掉这些不确定的命题。然而，对可判定性问题的否定回答表明不存在这样的算法，理由与之前所述是一样的。
注释
① 本文是作为撰写《哥德尔不完备定理的思索》一书的前期准备。
② 皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺（皮阿罗）提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
③ 事实上，欧几里德的原创公理集已经非常接近于完备的系统。所缺少的公理是非常直观的，以至于直到出现了形式化证明之后才注意到需要它们。
④ 一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑，它不允许量化性质。
⑤ 公理系统的数学模型是一个定义严谨的集合，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是用一种和系统中所定义的关系一致的方式。具体模型的存在性能证明系统的自洽。
参考文献
[1] 罗素B著.数理哲学导论[M].北京：商务印书馆，1999.
[2] 克莱因M.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，1979.
[3] 黄顺基.自然辩证法概论[M].北京：高等教育出版社，2004.
[4] 王宪钧.数理逻辑引论[M].北京：北京大学出版社，1982.
[5] 本书编写组.普通逻辑[M].上海：上海人民出版社，2004.
[6] 张巨青，汪馥郁，等.辩证逻辑[M].长春：吉林人民出版社，1981.