椭圆中的最值与范围问题

摘要：圆锥曲线在新课标考卷中的地位是不言而喻，同时大题的难度也是师生公认的。对这样的题我们应该从平时做起、从点面做起，不断进行归类总结，逐类、逐点突破，这样才能达到预期的目的。椭圆又是圆锥曲线的重点，对椭圆的学习就显得十分重要。下面我从一个侧面谈谈椭圆中的最值和范围问题。

关键词：椭圆；范围；最值

与椭圆有关的一些问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题的解题思路可从下面两点说起。（1）、一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围.（2）解决椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中的范围问常用的关系有：①-a≤x≤a，-b≤y≤b；②离心率0

例1、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程

解答、（1）由4x2+y2=1y=x+m得5x2+2mx+m2-1=0，

因为直线与椭圆有公共点，所以Δ=4m2-20（m2-1）≥0解得-52≤m≤52.

（2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

由（1）知：5x2+2mx+m2-1=0，所以x1+x2=-2m5，

x1x2=15（m2-1）

所以|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2=2（x1-x2）2=2[（x1+x2）2-4x1x2]= 24m225-45（m2-1）=2510-8m2

所以当m=0时，|AB|最大，此时直线方程为y=x.

变式练习：在本例中，设直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程

解答：可求得O到AB的距离d=|m|2，又|AB|=2510-8m2，

SAOB=12|AB|・d=12・2510-8m2・|m|2

=25 54-m2m2≤25・54-m2m22=14.

当且仅当“54-m2=m2”时，上式取“=”.此时m=±104∈-52，52.所求直线方程为x-y±104=0.

反思与悟领本题主要运用了方程思想、函数思想和均值不等式思想。尤其是函数的单调性。对函数表达式的建立是学习的重点，这在求最值方面经常使用。

例2、已知椭圆x225+y29=1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

解答、（方法一）如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交.设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0.①

由方程组4x-5y+k=0x225+y29=1消去y，得25x2+8kx+k2-225=0.②

令方程②的根的判别式Δ=0，得64k2-4×25（k2-225）=0.③

解方程③得k1=25，或k2=-25

由图可知，当k=25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0.

直线m与直线l间的距离d=|40-25|42+（-5）2=154141所以，最小距离是154141.（同学们可以思考若求最大怎么办？）

（方法二）、设椭圆的参数方程为x=5cosαy=3sinα（α为参数），

则椭圆上一点P（x，y）到直线4x-5y+40=0的距离为d=20cosα-15sinα+4041=25sin（φ-α）+4041≥25・（-1）+4041=154141

反思与领悟本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.方法一是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交Δ>0；（2）直线与椭圆相切Δ=0；（3）直线与椭圆相离Δ

例3、设椭圆中心在坐标原点， A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值。

解答：依题意设得椭圆标准方程为 x24+y2=1

直线AB、EF的方程分别为 x+2y=0，y=kx（k>0）

设E（x1，kx1）F（x2，kx2）（x1

所以x2+4y2=4y=kxx1=-21+4k2，x2=21+4k2

根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为

h1=x1+2kx1-25=2（1+2k+1+4k2）5（1+4k2）

h2=x2+2kx2-25=2（1+2k-1+4k2）5（1+4k2）

又AB=5四边形AFBE的面积为S=12AB（h1+h2）

S=1254（1+2k）5（1+4k2）=2（1+2k）1+4k2=2（1+2k）21+4k2

=21+4k+4k21+4k2=21+4k21+4k2≤22

当且仅当2k=1即k=12时，等号成立Smax=22

反思与领悟本题通过对图形的观察分析，将求最大面积问题转化为函数问题.然后列出面积S关于k的函数，接下来进行化简。后来发现与基本不等式有关。

基本不等式法是先将所求最值的量用变量表示出来，再利用基本不等式求这个表达式的最值，这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法。

例4、已知椭圆x225+y29=1 的右焦点F，且有定点A（1，1），又点M是椭圆上一动点。问|MA|+|MF|是否有最值，若有，求出最值并指出点M的坐标。

解答：设椭圆的左焦点为F′，则F′（-4，0），由椭圆的定义得MF+MF′=10

MF+MA=10-MF′+MA要使MF+MA最大，即要使MA-MF′最大。

连AF′，延长交椭圆于M′，则MA-MF′≤AF′当且仅当M，A，F′三点共线时，等号成立。所以 MA-MF′的最大值为AF′， 这时M与M′重合。

所以 AF′=1-（-4）2+1=26

MF+MA的最大值为10+26

同理可算最小值为10-26

反思与领悟：本题主要思路来源于初中的三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。当取等号时两边之和有最小值，两边之差有最大值。双曲线与抛物线 常常应用此思想。

例5：已知A，B是椭圆的两个焦点，满足MA・MB=0的点M总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围。

解答：因为MA・MB=0M点轨迹方程为x2+y2=c2，其中AB为直径

由题意知椭圆上的点在圆x2+y2=c2外部，设点P为椭圆上任意一点

则|OP|>c恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长

b>c，c22c2

ca2

反思与领悟：离心率是高考比较喜欢考的一个点，尤其是求值，也有求范围的题目。一般思路求值寻找的a，b，c的等量关系，求范围寻找的是a，b，c的不等关系。这是同学们要注意的点。

总之，解析几何中的综合性问题很多很多，高考每年几乎必考，且几乎是大题的押注题，尤其是最值与范围属于难题。而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、方程、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想、分类讨论思想.还要扣死圆锥曲线定义和几何性质。其中应用比较多的是直线与圆锥曲线的综合，然后又利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式再进行求解。

（作者单位：云南省保山第八中学）