初探《九章算术》开方术

【摘要】《九章算术》是我国的经典数学著作，本文试从《九章算术》少广章开方问题，介绍开方术及刘徽注，开方术程序思想，以及中国古代的开方算法对当前新课程标准下的中学数学教学的意义。

【关键词】九章算术 开方术 程序 新课标

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）03-0148-02

《九章算术》成书于公元前1世纪，是中国数学经典著作。《九章算术》集先秦到西汉数学知识之大成，奠定了中国古代数学的整体框架和思想方法。

1.《九章算术》开方术及刘徽注

《九章算术》少广章第12题至16题论述开方问题。例 [一二] 今有积五万五千二百二十五步。问方为几何。

开方术曰：“置积为实，借一算，步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。”

公元三世纪，数学家刘徽对《九章算术》作了原著的注释（以下简称《徽注》）。本文以《九章算术》开方术术文为依据，以刘徽注文为参考，如下选择两个问题，对开方术作一些探讨。

1.1 历次除法中的“法”与所得各位商的关系

不妨设所求的被开方数R的平方根为100a+10b+c，它是面积为R 的正方形（图中的外大方） 的一边之长。又设“黄甲”、“黄乙”、“黄丙”等正方形的一边之长依次为100a、10b、c。

在开方过程中，第1次除法中的“法”为100a，首商100a，两者数值相同，所以刘徽称这种除法为：“上下相命，是自乘而除也”。第2次除法中的“法”是200a+10b，次商为10b，“ 法”中的前项200a，术文称之为“定法”，其几何意义，如刘徽所说，是“豫张两面朱幂定裹”；“法”中的后项l0b，刘徽注称：“欲除朱幂之角黄乙之幂，其意如初之所得也”。此处所谓“如初之所得”，应理解为象第l次除法那样，将“法”中的10b与次商10b通过“自乘而除”达到除去“黄乙之幂”的目的。同理，第3次除法中的“法”是2（100a+10b）+c，第3位商是c“法”中的前部分2（100a+10b），术文也称之为“定法”，其几何意义，也如《徽法》所云：“是则张两青幕之裹”。

上面总共进行了三次除法，从几何图形上看，第1次除去了“黄甲之幂”，第2次除去了“朱幂”与“黄乙之幂”，第3次除去了“青幂”与“黄丙之幂”。以上所述历次除法中的“法”，在数值上不仅与“开方术”相符，而且与《徽注》一致。

1.2“ 法”在开方筹算式中的位置

我们知道，开方的中心问题是寻求历次除法中的“法”。为此，应首先确定各类“法”中的每个数字在筹式中的位置。其次才是确定每个位置上的那些具体数字。故刘徽后在“开立方术”中有这样的注语：“且置一算定其位”。刘徽所说的“其位”究竟是指什么位置呢？ 在上列中，第2次除法中的“法”为200a+10b，当l≤b≤4时与当5≤b≤9 时，“法”200a+10b的最高位的位置是不同的，就是说“法”的位置将随试除中所议得的数字a的不同而可能有所差别，这就给确定“法”的位置带来了困难。为此，开方术的造术者巧妙地将借算定在“法”200a+10b的后项位置即10位上，然后通过将议得的数字b与10相乘再与“定法”200a相加（以复议一乘之，所得副以加定法）而得“法”。所以刘徽所说的“其位”，应指各“法”的最后数字所在的位置。

显然，在各类“法”之位确定之后。再要确定各类“法”中的各具体数字，只要通过并不难理解的试除以及随后的乘法就可达到目的。[1][2]

2.开方术的程序思想

下面以对55 225 开方（即“少广章”第12 题） 为例来解释一下开方术：

“置积为实。借一算步之，超一等。”（实是被开方数的意思。被开方数从右开始两个数字为一位，将借算写在最左边位上的最右边的数字下面） 如表1：

“议所得，以一乘所借一算为法，而以除。”（因4

由此可见，《九章算术》中开方算法是一种机械化的程序，不断重复“超”、“议”、“除”和“折”四大步骤，易于操作。

3.中国古代的开方算法对中学数学教学的意义

由以上介绍可以看到，《九章算术》少广章的开方算法充分体现了我国古代数学构造性和机械化的特点。中国古代的开方算法程序对当前新课程标准下的中学数学教学具有重要的意义。

从《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（2001）到《数学课程标准》（2011版）和《普通高中数学课程标准（实验）》（2003）中，除了强调学生对知识技能等的掌握外，还都特别关注学生学习数学的体验以及数学文化在教学中的价值。

从中国中小学数学教学大纲到现在的数学课程标准，都十分强调学生的运算能力的培养。《九章算术》中的开方程序一方面奠定了中国开方术历史的良好基础，同时也是中国古算中最发达的领域──解一般高次数字方程的程序，并取得了具有世界意义的重大成就，对现代中小学数学的重视算法的研究与教学具有重要的现实意义。

4.结语

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。

参考文献：

[1]白尚恕. 《注释》. 科学出版社. 1983.102-111

[2]许鑫铜. 《九章算术》开方术及其刘徽注探讨. 自然科学史研究.第五卷. 1986（3）：193―201