满足AR(1)需求过程的零售商库存决策和牛鞭效应

摘要:讨论由一个供应商和一个零售商组成的简单两级供应链系统中,建立了零售商库存决策模型,在满足自回归模型AR(1)的需求过程条件下,定量分析了自回归系数和提前期对牛鞭效应的影响。指出对每个提前期,牛鞭效应度量能达到最大值,并找出满足该值的自回归系数范围,因而修正了文献 [5] 给出的自回归系数对牛鞭效应定理及证明;当自回归系数为正值时,牛鞭效应会发生,并随提前期的增大而增强;当自回归系数为负值时,牛鞭效应不会发生,且提前期对它的影响不明显。结果为零售商减小牛鞭效应提供了一定的指导意义。

关键词:供应链;库存决策;牛鞭效应;自回归过程

中图分类号:F7文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)22-0184-04

“牛鞭效应”是在供应链中观察到一个重要现象,指的是供应链下游通过补给订单而向上游传递的过程中,需求波动不断放大的一种现象[1]。对该现象的详细讨论出现在文献Baganha and Cohen (1995),Kahn (1987),Lee et al.(1997a,b)and Metters (1996)。这种现象能增加供应链的成本、减少运作效率,因此对企业而言,有效地管理订单波动是关键 [2]。Lee H L认为牛鞭效应产生的原因为:需求信号处理、长的提前期、理性博弈、批量订单和价格波动 [3～4],并针对这些原因如何造成及克服牛鞭效应进行了深入的分析且提出了一些有效的应对策略。

满足随机需求的牛鞭效应定量分析问题已经在近期的文献中得到广泛的研究。Lee在AR(1)需求模式下量化了牛鞭效应现象,并进行原因分析;Chen F等(2000)在AR(1)需求预测模型下研究了市场预测、提前期和信息共享对牛鞭效应的影响 [7～8]。Alwan等(2003)对满足AR(1)需求过程下使用优化的均方误差(MSE)预测机制量化牛鞭效应,指出牛鞭效应依赖于下游需求过程的相关结构 [9]。Zhang(2004)关于提前期和AR(1)需求过程内在的参数,不同的预测方法能导致不同性质的牛鞭效应,并提出提前期越长牛鞭效应越强 [10]。Luong(2006)关于AR(1)需求过程,对提前期和自回归系数对牛鞭效应的研究,并对自回归系数、移动平均参数和提前期对牛鞭效应进行了分析。提出自回归系数为负值时,不会产生牛鞭效应,在自回归系数为正值时会产生牛鞭效应,其值随着提前期的增加而增大 [5]。然而文献 [5] 对性质5(b)的证明有误,本文将给出另一个定理及证明。另一个不同点是:文献[5]牛鞭效应定量公式由一个简单的Order-up-to库存策略推出,而本文则是通过零售商定价和库存决策推导出来,即由零售商利润流最大化模型得到。

本文所用的记号如下:L表示订单提前期;qt表示t期开始的市场需求,t表示t期市场需求qt的预测值;pt表示t期商品的市场价;ot表示t期开始零售商的订单数量; It表示t期开始的采用订货点来计算的最高库存(order-up-to)水平;St代表到t期能观察到的需求历史;β为折现率;QLt表示提前期L内的总的市场需求;Lt(It,Ht)表示t期末持有成本和短缺成本;h,k和c分别表示单位持有成本,单位短缺成本和单位订单成本; Ht表示t期能观察到的需求历史;Et (.)表示在实现Ht需求历史条件下的决策点t期的期望值;εt表示t期需求函数扰动项; M(.)表示εt的分布函数;Φ(.)表示标准正态分布函数;Bl和Be分别表示关于随机线性需求函数和随机等弹性需求函数订单牛鞭效应度量函数;d为随机扰动项的一阶自回归系数;εt为t期随机扰动项;M(.)为εt在εt-1条件下的累积分布函数;Φ(.)为标准正态分布;B(d,L)为关于d和L的牛鞭效应度量函数。

一、零售商的库存决策和牛鞭效应

假定考虑一个单产品、两阶段的简单供应链系统:一个零售商和一个供应商。市场的需求由零售商掌握,零售商从发出订单到收到商品的时间(即提前期L)固定且已知。双方的行为都发生在一个无限离散的时间范围。假设市场需求满足需求 [15]:

qt=a-bpt+εt(t=0,1,2,…) (1)

并假设随机扰动项满足下列过程:

εt=e+dεt-1 +ρt(2)

式(1)中:pt 和qt分别为t期的商品价格和需求量;其中,a>0,b>0,|d|

假设零售商不干预定价,即pt=p。据文献 [15],零售价的库存决策可由无限计划期内最大化折现利润流的期望值得到,即

maxpt,ItE0βt((βτ(t+τ|St)p)-cot-Lt(It,Ht))s.t.

It+1=It-qt+oi+1(3)

当零售商不干预定价决策时,Pt=P。由文献 [17],式(3)等价于以下式子:

minItβtE0[cot+Lt(It,Ht)](4)

可得t期最优OUT水平I*t为:

I*t=-σ2Φ-1+La+

-Lbp+dτ+1εt-1(5)

零售商的优化订单数o*t满足:o*t=I*t-I*t-1+qt-1

Var(o*t)=1+Var(εt-1)

现令B(L,d)来度量牛鞭效应,则

B(L,d)=Var(o*t)/Var(qt-1)=Var(o*t)/Var(εt-1)

1+ (6)

从(6)式看出,牛鞭效应度量与文献 [5] 的公式一致,这是因为pt=p当时,由(1)和(2)式可以看出,qt=(1-d)(a-bp)+dqt-1+ρt(t=0,1,2,…),需求过程{qt}∞0满足AR(1)过程,均值为(a-bp)、方差为σ2/(1-d2)。以下来详细讨论d和L对B(d,L)的影响。

二、自相关系数和提前期对牛鞭效应的影响

1.自相关系数对牛鞭效应的影响

对于-1

令fi(d,L)=2di(1-dL+1),则(6)式变为

B(d,L)=1+fi(d,L)(7)

引理1fi(d,L)在dd*i=()1 /(L+1)时严格单调减小。

引理2d*i为i的单调增函数。

引理3fi(d,L)在d>d*i-2,i>2时为凸函数。

证明因为对每个L,=di-2[i(i-1)-(L-i+1)(L+i)dL+1],所以fi(d,L)的拐点为di=1 /(L+1), 当i>2时,易证d*i-2>di 。而对于d>di,d*i-2,i>2,

引理4limd1B(d,L)。

引理5设Bk(d,L)=1+fi(d,L),dk为Bk(d,L)的最大值点。则Bk(d,L)在d>d*k-1时为凸函数,dk∈(d* k-2,d*k],且唯一。

证明 当k=1时,易知函数B1(d,L)=1+fi(d,L)为凸函数,命题成立。

在d∈[0,1]上,有

=4-2(L+2)(L+1)dL-2(L+3)(L+2)dL+1 (8)

是d的单调减函数,且注意到(8)式右边最后一项为-2(L+3),从而

所以,由引理1和2知,当d>d* 1 时,B2(d,L)为凸函数。

又>0,所以d2∈(d*1,d*2],命题对k=2成立。设当k1时命题成立,则

当d>d*k+1≥dk时,Bk(d,L)和Bk+1(d,L)=Bk(d,L)+fk+1(d,L)严格单调减小,

所以,dk+1≤d* k+1。又由假设,Bk(d,L)在dd*k-1时为凸函数。又fk+1(d,L)在d

Bk+1(d,L)=Bk(d,L)+fk+1(d,L)

在dd*k-1时为凸函数。所以 Bk+1(d,L)在d>d*k-1时为凸函数。由数学归纳法,命题得证。

在引理5中,令k=L,并考虑到引理4,得到以下定理。

定理1 牛鞭效应测度B(d,L)具有下面性质:

(a) 对于d∈(0,d* L-2],B(d,L)是d的严格单调增函数;对于d∈(d* L-2,1],B(d,L)是凸函数,其中d*L=1/L+1;

(b) 存在d∈(d* L-2,d*L),当d∈(0,d]时,B(d,L)严格单调增加,而d∈[d,1)时,B(d,L)严格单调减小。

在定理1中结论(b)直接由(a)得到。对于每个L,总是存在唯一的dmax∈(d* L-2,d*L),使得B(d,L)达到最大值。

同时注意到,文献 [5] 性质5(b)的证明似乎有问题,因为在证明

dL+1>>>,i≥1。这个不等式显然不成立。

数值实验也显示,当L增加时,最大值随之增大,同时dmax和d*L也增加。对于任何L和d∈(0,1),总有B(d,L)>1,即牛鞭效应会发生。

根据上述分析,可以得到以下结论:

定理2 当-1

2.提前期对牛鞭效应的影响

根据(6)式得,当-1

=ln|d|。

因此,由上式可以得到如下结论:

定理3 当0

从定理3可知,当自相关系数为正值时,牛鞭效应始终会发生,并随着提前期的增加而变得更加强烈。因而零售商为了减少牛鞭效应的发生,应尽力缩短提前期。

然而,当自相关系数为负值时,牛鞭效应不会发生,且提前期对牛鞭效应度量的影响不大(解释可由下图得到)。所以,减少提前期对减弱牛鞭效应已失去了意义。

自相关系数(-1

三、结论

本文考虑由一个供应商和一个零售商组成的简单两级供应链系统,市场需求满足一阶自回归AR(1)过程,定量分析自回归系数和提前期对牛鞭效应的影响。修正了文献 [5] 给出的自回归系数对牛鞭效应定理及证明。结果指出对于满足AR(1)的需求过程的零售商企业,库存决策总会产生牛鞭效应;对于每个确定的提前期,总存在一个自回归系数,使得牛鞭效应达到最大值;显示随着提前期的增大,对于正的自回归系数,牛鞭效应也相应增强;但对于负的自回归系数,牛鞭效应不会发生,且提前期对牛鞭效应的影响较小。作为供应链零售商企业,为了减少牛鞭效应,首先需要考虑需求的自相关系数的正负性;然后考虑,对正的自相关系数,应尽力缩短订单提前期;而对于负的自相关系数,缩短提前期是没有意义的。

本文也存在不足之处,如对满足AR(1)需求过程进行研究,没有考虑其他复杂的需求过程;另一方面,没有考虑零售商的定价等。所有这些有待于进一步的研究。

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Retailer’s Inventory Policy and the Bullwhip Effect with AR(1) Demand Process

WANG Wei-jun1,2,TANG Xiao-wo1,YANG Jin-hao2

(1.School of Management,Electronic Science and technology University of China,Chengdu 610056;

2.College of Information Science and Technology,Chengdu University,Chengdu610071)

Abstract: This paper discusses the impact of autoregressive coefficient and lead time by retailer’s inventory policy on the bullwhip effect with AR(1) demand process in a simple two-stage supply chain system consisting of a single retailer and a single supplier.It presents the proposition of the impact of autoregressive coefficient and lead time on the bullwhip effect.It shows that the bullwhip effect will reaches the maximum for each lead time and finds the range of the autoregressive coefficient for the value.Therefore,it revises proposition 5 of literature [5].Moreever,it presents thatthe bullwhip effect always occurs when the autoregressive coefficient is positive andchanges intensively with the increasing of lead time;the bullwhip effect does not occur when the autoregressive coefficient isnegative.The results will possess some guiding significance for retailer to reduce the bullwhip effect..

Key words: supply chain ;inventory policy; bullwhip effect; autoregressive process[责任编辑 安世友]