借助三角函数计算油田输油管线费用的最优解

摘 要：在解决油田输油管线的问题中，由于建立的模型是非线性的，直接用普通加减消元法、代入消元法等无法求解，这里采用引进三个倾斜角α、β、γ为辅助变量，先求出它们的三角函数值，再求出模型的解，使问题得到了解决。

关键词：数学模型；三角函数；最优解

一、内容

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。两炼油厂的具置由图1所示，其中A厂位于郊区（I区域），B厂位于城区（II区域），两个区域的分界线用图中虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。输送A厂成品油费用为每千米5.6万元，输送B厂成品油费用为每千米6万元，共用管线费用为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，核算为每千米21万元。请给出管线布置方案及相应的费用。

二、模型的建立

建立如图2所示坐标系，设CE=x（千米）， EF=h（千米），GH=z（千米）。

三、管线布置总费用模型

W=5.6+6+27+7.2h。

四、模型的求解

令W1x=-=0………（1）

W1h=++7.2=0………（2）

W1z=-=0……………（3）

此三元非线性方程组直接不好求解。如图2分别做三段折线与水平线的夹角α、β、γ，则=sinα，=cosα，=sinβ，=cosβ，=sinγ，=cosγ。

代入方程（1）（2）（3）中，得5.6cosα-6cosβ=0，-5.6sinα-6sinβ+7.2=0， 6 sinβ-27sinγ=0。

解得 sinα=0.58534，cosα=0.8108， tanα=0.7219， cotα= 1.3852。

sinβ=0.65368，cosβ=0.75677，tanβ=0.86377， cotβ=1.1577。

sinγ=0.14526，cosγ=0.98939，tanγ= 0.1468， cotγ= 6.81199。

所以z=8-5tanγ=7.266。再由{5-h） cotα+{z-h）cosβ=15求出h，1.3852*{5-h）+1.1577*{7.266-h）=15，解得h= 0.13284，并得到x={5-h）cosa=1.3852*{5-0.13284）=6.74199 （唯一驻点，且有最小值）。

因此，当x=6.74199，h= 0.13284，z=7.266时，W最小，最小值为249.4423万元。

计算程序如下：>>syms x h z；

>> W=5.6*sqrt（x^2+（5-h）^2）+6*sqrt（（15-x）^2+（z-h）^2）+27*sqrt（25+（8-z）^2）+7.2*h；

>> subs（W，{x，h，z}，{6.74199，0.13284，7.266}），ans =249.4422.

此时F点坐标为（6.74199， 0.13284），H点坐标为 （15， 7.266），最小费用为249.4422万元。

（常州工程职业技术学院）