一题多解 发散思维 提升能力

数学教学中,教师结合教学内容,通过习题的精选与讲练,可以使学生形成和发展数学应用意识,提高数学思维能力。有意识的加强一题多解,多题一法训练,让学生多角度、多方位、多层次思考问题,开阔学生的视野,优化学生的思维品质,为学生夯实基础,提升能力,激发学生数学学习兴趣构建平台。

[例题]已知a,b,e为实数,满足条件a+b+e=2,a2+b2+e2=4,试求实数e的取值范围。

解析一:(方程“”法) a+b+e=2 ①a2+b2+e2=4 ②三个量,两个等式。由减元思想,则可由①得 a=2-b-e ③,③代入②,整理化简得b2+(e-2)b+e2-2e=0,关于b的一元二次方程有解 -≤e≤2。

也可整理条件得: a+b=2-eab=e2-2e

则a、b为方程x2-(2-e)x+(e2-2e)的两根,从而≥0(下略)。

解析二:(不等式法)由条件有a+b=2-e ①a2+b2=4-e2 ②

注意到“和a+b”与“平方和 a2+b2”的不等关系:2(a2+b2)≥(a+b)2,则8-2e2≥(2-e)2,3e2-4e-4≤0(下略)。

解析三:(三角换元法) a+b=2-e ①a2+b2=4-e2 ②

注意到②式的“平方和”结构形式,则可设a=cosθ,b=sinθ

由①有cosθ+sinθ=2-e

sin(θ+)=2-e,sin(θ+)=

|sin(θ+)|≤1 ||≤1

3e2-4e-4≤0(下略)。

解析四:(数形结合法)a+b=2-e ①a2+b2=4-e2 ②

由①联想到斜率为-1,在纵轴上截距为2-e的直线,由②联想到圆心在原点,半径为的圆。如图所示。

直线与圆有公共点

圆心到直线的距离d≤,即≤,化简得 3e2-4e-4≤0(下略)。

解析五:(构造方差法)a+b=2-e ①a2+b2=4-e2 ②

由①“a,b的和”的结构,易表达a,b的平均数

由②“a,b的平方和”的结构,联想到方差

s2=[(a-)2+〔b-〕2]

=[a2+b2-(2-e)(a+b)+2()2]

=[4-e2-(2-e)2+]=[4-e2-]≥0

化简得3e2-4e-4≤0(下略)。

解析六:(构造函数法)a+b=2-e ①a2+b2=4-e2 ②

注意条件①②,联想到函数f(x)=(x+a)2+(x+b)2的系数特征,则可令f(x)=(x+a)2+(x+b)2。

f(x)=(x+a)2+(x+b)2=2x2+2(a+b)x+a2+b2

=2x2+2(2-e)x+4-e2

f(x)≥0 ≤0 即4(2-e)2-4×2(4-e2)≤0

化简得3e2-4e-4≤0(下略)。

解析七:(构造等差数列法)a+b=2-e ①a2+b2=4-e2 ②

由①知a,1-,b成等差数列

可设a=(1-)-d,b=(1-)+d,其中d为公差

代入②:[(1-)-d]2+[(1-)+d]2=4-e2

整理得3e2-4e-4=4d2≤0(下略)。

解析八:(构造向量法)a+b=2-e ①a2+b2=4-e2 ②

注意条件①②,联想到向量的坐标和向量的模

可设=(a,b),(1,1)则·=a+b=2-e

||=,||=

|·|≤||·|| |2-e|≤·

化简得3e2-4e-4≤0(下略)。

解析九:(参数法)a+b=2-e ①a2+b2=4-e2 ②

由①联想到直线过点(2,-e),斜率为-1,且倾斜角为

则可设a=2-t b=-e+t

代入②整理得t2-(2+e)t+2e2=0

关于t的一元二次方程有解

≥0 即2(2+e)2-8e2≥0

化简得3e2-4e-4≤0(下略)。

可见,上述多种解法,不仅使学生掌握常用方法,而且帮助学生复习了有关知识。在这些解法中,汇聚了大量信息,知识覆盖面广,既收到“精讲一题,带动一片”的效果,又活跃了学生思维,提高了学生的能力。这正符合新课标基本理念。