例谈f[g(x)]=0型零点问题

摘 要：本文主要介绍解决一类形如“f[g（x）]=0型”复合的函数零点问题，通过实例讲解，探究方法，总结规律，提高学生解决此类问题的能力。

关键词：复合函数;零点;换元法;数形结合

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）22-092-02

函数的零点问题是函数、方程、不等式、导数等内容交汇处的一个十分活跃的知识点，也是高考中的一个热点问题，其题型也显得愈加灵活多变。近几年，一类形如y=f[g（x）]的复合函数零点在各类考试题中不断出现，由于此类问题背景新、构思巧，在教学中，发现很多学生感到难应付，不知从何处找到问题的突破口。笔者结合典型考题对这类零点问题的解法进行解读，希望对大家有所帮助。

一、零点个数问题

例1（2014四川省泸州市高三调考）已知函数，则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（ ）

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

【解析】法一：因为f（x）有两个零点，所以函数y=f[f（x）]+1的图象由下面四个函数组成y=x+3（x≤-1），y=log2（x+1）+1（-11），而这四个函数都只有一个零点，故函数y=f[f（x）]+1有4个零点，选（A）。

法二：令t=f（x），则函数y=f[f（x）]+1的零点的个数，即为下面的方程组的解中的x的值的个数：

由方程②知，t1=-2，t2=1/2

分别作出方程①与t1=-2，t2=1/2（如图1），观察图象知：函数函数t=f（x）与t1=-2，t2=1/2分别有2个交点，共4个交点，选（A）。

变式1已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]上的图象如图所示，给出下列四个命题：

函数y=f[g（x）]有且仅有6个零点;

函数y=g[f（x）]有且仅有3个零点;

函数y=f[f（x）]有且仅有5个零点;

函数y=g[f（x）]有且仅有4个零点;

其中正确的命题是（ ）【答案：（D）】

（A）①② （B）①③ （C）②③④ （D）①③④

二、零点值（范围）问题

例2（2014）重庆八中高三第五次月考（文））已知定义在R上的函数f（x）为单调函数，且对任意x∈R，恒有f（f（x）-2x）=-1/2，则函数f（x）的零点是（ ）

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2

【解析】令t=f（x）―2x，则函数f[f（x）―2x]=―1/2的零点，即为下面的方程组的解中的x的值：

由①知，f（x）= 2x+t，所以2t+t=―1/2，解得t=-1所以f（x）=2x-1，

令f（x）=0得x=0，所以选（B）

变式2已知函数，则函数y=f[f（x）]-1的零点的取值范围是【答案：[0，1]∪[3，4]∪{7}】

三、参数范围问题

例3已知函数，，则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）有6个不同的实根，则a的取值范围是。

【解析】令t=f（x），则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根，即为下面的方程组的解中的x的值：

1、当0

2、当1

3、当a>5/4时，由图2知，直线y=a与曲线y=g（t）有1个公共点，且公共点横坐标满足t>1结合图3知，直线y=t与曲线y=f（x）只有1个公共点，此时方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）有1个实根，故不合题意;

4、当a=1时，由图2知，直线y=a与曲线y=g（t）有2个公共点，且公共点横坐标满足t1=―3，t2=1/2，结合图3知，直线y=t1，y=t2与曲线y=f（x）分别有2个和3个公共点，此时方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）有5个不同的实根，故不合题意;

5、当a=5/4时，由图2知，直线y=a与曲线y=g（t）有1个公共点，且公共点横坐标满足t=1，结合图3知，直线y=t与曲线y=f（x）有2公共点，此时方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）有2个不同的实根，故不合题意;综上知，a的

取值范围是（1，5/4）。综上所述，解决这类问题的步骤：（1）合理换元（复杂方程拆解为两个相对简单方程）;（2）画出相应函数图象，通过动态观察两个函数的图象，这类问题便可轻易解决。

参考文献：

[1] 宋 村.邹生书.复合函数有关零点问题的解法[J].中学数学研究，2013（10）.