折折生辉 11期

在亚洲国家中，折纸是最基础的学前教育内容之一。每个人总有一段时间会沉迷于折纸带来的乐趣，无论是漫天乱舞的纸飞机，还是静静漂浮的小船，或是算命工具东南西北，都曾经是我们心中永远的童年记忆。不过，或许你未曾想到，看似简单的折纸却也是数学达人的玩具。

折纸的历史

折纸的起源众说纷纭，由于中国在西汉时期，率先造出了真正意义上的纸张，同时中国也拥有自己的折纸传统，因此很多人认为折纸起源于中国。但在折纸的世界中，不可忽视的两个国家却是西班牙和日本。

751年，唐朝在与黑衣大食的怛逻斯之战中战败，被阿拉伯人掳去的唐朝士兵中有造纸的工匠，向阿拉伯人传授了造纸与折纸技术，而阿拉伯人又将此教给了北非的穆斯林们。西班牙人从北非穆斯林那里学到了这项艺术，并将其发扬光大，变成自己的国粹之一。

可若要说起最热爱折纸的国家，那一定非日本莫属。自隋朝时期高句丽僧人昙征将造纸术传入日本，折纸便开始广泛运用于神道祭祀中，但僧侣们通常对折法秘而不宣。能通过文献确认的最早的关于折纸的记录来自于日本江户时代诗人井原西鹤于1680年写下的俳句，这句俳句中提到了名为雄蝶雌蝶（不是“雅蔑蝶”）的折纸作品，这种折纸通常被挂在结婚仪式上的酒壶壶口处。1797年，三重县桑名市长罔寺僧人义道一罔写出了世界上第一本折纸书《秘传千羽鹤折形》，随后折纸艺术在日本迅速发展起来，而真正意义上的技术突破是由被誉为“现代折纸之父”的吉泽章带来的。他在传统折纸的基础上，增加了湿折法，同时与美国的Sam Randlett一起制定了国际通用的折纸图解术语，使得折纸可以方便地通过图样传播而不用受到文字的限制。

折纸发展到二十世纪八十年代，数学家们开始认识到折纸可以作为一个数学问题来加以研究。一个标准的折纸是一张完整的纸不经剪裁得到的。因此纸上的折痕是构建这个作品的唯一印记，这些折痕满足一定的数学性质，使得一张平面的纸可以有着无数变化。如何折出一个特定的物体？以前需要完全依赖折纸艺术家的经验和技巧，而今天，我们已经可以逐渐用数学模型来计算构建该形状所需的折痕了。因此，发展到今天，折纸中的数学变得越来越被人们所关注，折纸艺术也随着数学与计算机科学的发展达到了一个新的高度。

折纸七大公理

喜欢数学的人都会知道欧几里得在《几何原本》中，给出了关于平面几何的五条公理，通过这五条公理，欧氏几何被完全确立。折纸中同样蕴含着七条公理，它们构建了折纸的全部结构。

折纸的公理系统由1991年日裔意大利数学家藤田文章（Humiaki Huzlta）构建，他指出了在折纸过程中存在六种基本操作，构成了折纸的六个公理。而在2001年，数学家羽鸟公士郎发现折纸的六条公理并不是完备的，他给出了折纸的第七条公理，而美国折纸艺术家Robert Lang则证明了这七条公理构成了一个完备系统。

公理一：

给定两点P1和P2，存在唯一折线通过这两点。

公理二：

给定两点P1和P2，存在唯一的折线把P1折到P2上。

公理三：

给定两条线L1和L2，存在唯一的折线把L1折到L2上。

公理四：

给定定点p1和一条线L1，存在唯一的折线垂直于L1并通过p1。

公理五：

给定两点p1和P2以及线L1，存在过P2的折线将P1折到L1上。

公理六：

给定两点P1和P2以及两条线L1和L2，存在折线可以将p1折到L1上，并同时将P2折到L2上。

公理七：

给定点P1以及两条线L1和L2，存在垂直于L2的折线，并同时将P1折到L1上。

这七条公理构成了一个完备的折纸体系，在这个体系中，一切可能的折纸操作都可以完成，任何折纸操作都一定是这七种之一。但是实际上，如果从数学的角度来看，七条公理并不是都需要的，只要有基础的第一公理与最强的第六公理，那么所有的折纸作图都可以通过有限次操作获得，即这个体系中所有的可构造对象都可以通过这两种运算得到。

关于七条公理的数学语言解析和构造涉及高等数学中的群论知识与代数几何知识，因此在本文中我们不详细解释，有兴趣的读者可以自行寻找相关的阅读材料。但如果从代数的眼光来简单描述，则可以说，折纸公理的前六条，相当于解二次方程，而加上第七条，就可以解三次方程了。

手指间，问题灰飞烟灭

聪明的读者或许已经注意到了，折纸公理中的部分公理和欧几里得尺规作图有一定的相似之处。在尺规作图中，作图只能使用圆规与没有刻度的直尺，且每次作图必须在有限次操作中完成。古希腊数学家热衷于使用尽可能简单的工具来解决复杂的问题，因此他们对尺规作图的可能性表现了极大的研究兴趣，在他们的几何研究中，三大不可能尺规作图问题诞生了。

当给定一个角时，用直尺和圆规可以轻松地找出它的角平分线，因此很自然地，我们会想到用尺规能否找出一个角的三等分线。但是很遗憾，仅用尺规我们无法做到，这是第一个不可能问题。而起源于雅典瘟疫典故的倍立方问题，即已知一个正方体，求出体积是它两倍的正方体的边长，则给了我们第二个不可能问题。第三个不可能问题给了人们一个圆，要求用尺规找出和它面积相等的正方形边长，可惜还是没法做到。

勤劳勇敢的古希腊数学家为了解决这三大尺规作图问题付出了许多努力，后来更有无数的数学家与数学爱好者都对这看似简单的问题发起了进攻，但是他们都没有成功。可是，当我们将这三个问题放入折纸的公理体系中，就会惊讶地发现，它们全都可以通过折纸操作来完成。

二十世纪七十年代，日本人HisashiAbe发明了三等分角的折纸方法。

假定需要被三等分的角度位于正方形左下角，首先将正方形向上对折，然后将正方形下半部分折到刚刚的折痕上，这样我们得到了两条平行于正方形底边的平行线，且它们之间距离相等。此时在正方形左边我们得到了两个点P1和P2，将这两个点分别折到第二条折痕L1和L2上，同时我们延伸纸背上的L1作出直线L3，则L3与正方形底边所成的角度即为需要被三等分角度的2/3。至此，在折纸体系中，三等分角问题就被解决了。

而看似复杂一些的倍立方问题则更加简单。我们取一张正方形纸张，首先将正方形边对折，折出点E。再将其沿对角点AC折出折痕，与连接BE的折痕相交于一点。过这点折出BC的平行线，再以这条平行线为对称轴折出BC的另一条平行线。这样我们首先完成了将正方形三等分。

接下来将点C和点/分别折到线段AB和FG上，则点C在AB上所确定的点C’与点A之间的距离为点C’与点B之间距离的2倍。这样倍立方问题也迎刃而解了。

至于化圆为方问题，尺规作图是无法作出超越数Tr的，但是折纸想直接构建π也相当困难，一般的折纸痕迹都是直线，要想折出π，目前的解决方法是折出弯曲半圆折痕，再将纸边沿着折痕细折确定长度。而曲折折法虽然已经广泛应用于不少折纸作品中，但在折纸数学中尚未给出明确的定义，而实际操作中该方法误差也比较大，因此尚存争议，有兴趣的读者可以自己尝试一下。

折纸的世界看似简单却美妙异常，无论是简单的纸船还是复杂的数学模型设计，都能带给我们无数的惊喜与快乐，手中白纸到底能带给我们怎样的未来呢？这还等待着更多的折纸爱好者去探索与发现。