例谈求最小值的问题

在平面几何中，将几何问题转化成代数的方法去解决，如果应用恰当，往往能取得事半功倍的效果。同样，在代数中，将代数问题转化为几何的方法去解决，容易理解。对于具体的问题，如何找到解决问题的切入点，这是我们解决此类问题的关键，也是我们感到最困难的问题。只要我们能充分地挖掘已知条件及蕴含在题目中的隐含条件，充分利用已学的定理和性质，找出题中条件的内在联系，那么问题就迎刃而解。下面就求最小值问题举例进行说明，仅供读者参考。

一、用对称法解决最小值问题

例1 （08湖北荆门）如图1，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M,N分别是边AB,BC的中点，则PM+PN的最小值是_______。

分析：遇到这类问题，咋一看这是个代数问题，而实际上应该采用几何的方法进行解决，利用菱形是轴对称图形及两点之间线段最短这两条性质。作点N关于AC的对称点E，由于菱形是轴对称图形，所以点E恰好落在边CD上，且正好是CD的中点，故PM+PN的最小值是线段ME的长度，由菱形的性质及勾股定理可知：PM+PN=5。

从上述例子可以发现：对于求两条线段或三条线段和的最小值，不能采用代数的手法，而应采用几何中对称的方法解决。这类问题的特征：求两个定点到一条直线上一动点距离之和的最小值问题，作其中一个定点的对称点，连接对称点与另一个定点构成的线段就是所求的最小值。

二、用构图法解决最小值问题

例2（08湖北恩施）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x。

1.用含x的代数式表示AC+CE的长；

2.请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？

3.根据2中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√（12-x）2+9的最小值。

分析：1.AC+CE=√（8-x）2+25+√x2+1；2.由两点之间线段最短知，当A、C、E三点共线时，即CD=，AC+CE的值最小；3.充分利用1、2两问进行逆向思考，第1问中的两个根号是利用勾股定理求两条线段的长度，而第3问中的两个根号也就是两条线段的长度，关键是从代数的角度去思考问题还是从几何的角度去思考问题。此题是代数问题采用几何的方法进行解决。

如下图所示，作BD=12，过点B作ABBD，过点D作EDBD，使AB=2，ED=3，连结AE交BD于点C。AE的长即为代数式√x2+4+√（12-x）2+9的最小值。过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=8。所以AE=√122+（3+2）2=13，即√x2+4+

√（12-x）2+9的最小值为13。

难，难以下手。如果采用几何的方法就很简单，这也就是采用数形结合的思想解决问题。

三、用二次函数法解决最小值问题

例3 如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，动点D在线段BC上运动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE。记CD的长为t。

1.当t=时，求直线DE的函数表达式；

2.如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；

3.求当线段OE最短时点E的坐标。

分析：1.略；2.利用二

次函数求最大值问题；3.

在RtABC中，利用勾股

定理知，OE=√OA2+AE2。因为OA=1，所以要求OE的最小值就是求AE的最小值，而AE+EB=1，故求BE的最大值。根据OCE∽DBE知，代入得，BE=-x2+x=-（x-）2+。所以当线段OE最短时，点E的坐标为E（1，）。

从上述例子可以发现：此题的关键之处就是抓住RtODE还是RtOAE，如果在RtODE中利用勾股定理求解，发现问题很复杂，由此只有利用RtOAE进行求解。用x表示OE，而此时正好是一个二次函数求最小值问题。

四、用公式法解决最小值问题

例4 （08江苏盐城）阅读理解：对于任意正实数a，b，（√a-√b）≥0，a-2√ab+b≥0，a+b≥2√ab，只有点a=b时，等号成立。结论：在a+b≥2√ab（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2√p，只有当a=b时，a+b有最小值2√p。

根据上述内容，回答下列问题：

1.若m＞0，只有当m=____时，m+

有最小值_________。

2.思考验证：如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）。过点C作CDAB，垂足为D，AD=a，BD=b。

试根据图形验证a+b≥2√ab，并指出等号成立时的条件。

3.探索应用：如图2，已知A（-3，0），B（0，-4）为双曲线y=（x＞0）上的任意一点，过点P作PCx轴于点C，POy轴于点D。求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状。

分析：通过材料的形式告诉我们公式，从而对不等式进行运用。

1.m=1，最小值为2；

2.从几何的角度进一步理解不等式及等号成立的条件。验证的思路：圆的直径大于等于弦长，CD是弦长的一半，即AB≥2cd，。利用三角形相似，用a，b表示CD。

3.设P（x，），则C（x，0），D（0，），CA=x+3，DB=+4。抓住对角线互相垂直的四边形面积公式，S四边形ABCD=CA

×DB=（x+3）×（+4），化简得：S=2（x

+）+12，利用公式，x＞0， ＞0，x+

≥=6，只有当x=，即x=3时，等式成立。S≥2×6+12，S四边形ABCD有最小值24。此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，四边形ABCD是菱形。

从上述例子可以发现：首先断定这不是采用几何的方法解决，而是采用代数的方法进行解决，采用公式的方法求最小值。

综上所述，我们遇到求最小值问题时，要善于分析已知条件，要判别到底是几何问题还是代数问题，能够灵活的运用上述的几种方法进行解决问题。要善于运用数学中非常重要的数形结合数学思想，这样复杂的问题也会变得简单，遇到问题也就自然想到这些方法，从而得心应手的解决问题。