曲面细分方法及其应用

摘要：细分曲面造型技术是一种基于样条可细化性质基础上的以网格细分为特征的离散造型方法，具有表示的任意拓扑性，光滑保证性，计算简单性等传统方法难以比拟的优点。本文介绍了常用几种细分方法的细分规则及其应用。如Loop细分法、蝴蝶改进法、Catmull Clark法和Doo-Sabin 法。

关键词：细分方法；Loop细分法；蝴蝶改进法；Catmull Clark法；Doo-Sabin 法

中图分类号：TP391.7 文献标识码：A文章编号：1009-3044(2007)17-31425-03

The Curved Surface Subdivides the Method and its the Application

XIE Wei-hong,YE Liang-rong

(ChangSha Electric Power Technical CollegeAssociate professor,Changsha 410131,China)

Abstract：Subdivides the surface modeling technology is one kind may in the thinnature foundation subdivide based on the transect take the grid as thecharacteristic separate modelling method, has the expression the freeanalysis situs, smooth guarantee, traditional method hard to compareand so on computation simplicity merit. This article introduced thecommonly used several kinds subdivide the method to subdivide the ruleand its the application. If Loop subdivides the law, the butterflyimprovement law, Catmull the Clark law and the Doo-Sabin law.

Key words:Subdivides method;Loop to subdivide law;butterflyimprovement law;Catmull Clark the law;Doo-Sabin law

1 概述

几何造型是CAD中的关键技术之一，现代工业产品设计对CAD系统处理复杂拓扑形体的能力提出了越来越高的要求。虽然以NURBS为代表的造型表示方法已经取得了非常成功的应用，但它仅适于表示规则拓扑形体（单个补片），拼接和裁剪还存在很大困难。细分曲面造型技术是一种基于样条可细化性质基础上的以网格细分为特征的离散造型方法，具有表示的任意拓扑性，光滑保证性，计算简单性等传统方法难以比拟的优点，是目前国际上计算机图形学领域的最新技术。本文介绍了几种常用细分方法及其应用。

2 细分方法

2.1 Loop细分方法

Loop法是Charles Loop提出的一种简单的基于三角形网格的逼近型面拆分细分法。它被证明了包括边界情况在内，即使点的价达到100都可以保持C1阶连续。

Loop法是基于三向箱样条的细分方法，在规则网格处可生成C2阶连续的曲面，奇异点处可以有C1阶连续，其网格可以是任意的。

该公式可以在细分各个的层次应用。

通常，切向量是用来计算法向量的。法向量可通过叉乘t1×t2得到，该叉乘可也即由点p0,pi,1,pl,1,i,l=0...k-1,i≠l组成的所有三角形的法线的加权平均。法线的标准计算方式是该点相邻的所有三角形的法线的平均，上式可以看作是对此地一个逼近，t1×t2的计算量要比平均所有三角形法线的计算量小。

在边界上，点沿边界线的切线可为：talong=p0,1-pk-1,1。垂直于边界线的切线可为：

蝴蝶法首先被Dyn，Gregory和Levin提出，最初的蝴蝶法也是建立在任意三角形网格上的，其极限曲面在规则网格处是C1阶连续的，但在k＝3和k>7的奇异点处达不到C1阶光滑。

Doo-Sabin 细分是一种点拆分的细分方案，它在概念上非常简单，其奇点和偶点没有差异，规则的定义也非常简单，一种表达就够了，仅在边界处有所不同，边界的极限曲线是二次样条线。Doo-Sabin细分的规则如图5所示：

3 细分方法应用

图9为不同的细分规则细分结果。一般，Loop法和CarmullClark法细分的结果要好看一些，因为它们在规则网格上产生的是C2光滑曲面。

由于正方体的面都是四边形，Catmull Clark法产生的面最为好看。Loop法产生的面是不对称的，因为正方体三角化后本身就是不均匀的。而Doo-Sabin法和蝴蝶法的细分结果和正方体最相似。蝴蝶改进法产生的曲面的质量最差，因为它是一种插值法。插值的结果越接近原曲面，曲面的质量就越差。

图9 不同的细分规则时，四方体细分产生的结果

图10是四面体的细分结果，情况大致相同。注意到，对于逼近细分方案，都有收缩的趋势，这也是它们的一个特性。如果细分结果不必插值初始网格的话，Loop法和Carmull-Clark法在实际应用中运用的更广泛一些。

图10 不同的细分规则时，四面体的细分结果

参考文献：

[1]Adi Levin. Combined subdivision schemes, PhD thesis, 2000,Tel-Aviv University.

[2]Adi Levin, Combined subdivision schemes for the design of surfaces satisfying boundary conditions. Computer Aided Geometric Design 16(5), 1999：345-354.

[3]Catmull E, Clark J. Recursively generated B-spline surface on topological meshes. Computer Aided Design, 1978, 10(6): 300-350.

[4]Denis Zorin, Peter Schr?der. Implementing subdivision and multiresolution surfaces[J],SIGGRAPH'2000:105-115

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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