用《几何画板》绘制曲面和空间曲线的探究蒙

作为一种简单实用的绘图工具，《几何画板》在中学数学教学中可以发挥它的这一显著优点。那么能不能用《几何画板》来绘制一些曲面和空间曲线呢？这是一个值得深入思考的问题，同时又是一个看似比较复杂的问题。经过笔者长期思考和不断完善，最终得到一种比较简单同时又能普遍解决这类问题的方法。

一、绘制基本空间图形

例1：建立空间坐标系，并利用坐标控制点的位置

步骤：

1.建立空间坐标系。利用“自定义工具”，建立空间坐标系，记为坐标系O-xyz，其中点i，j，k分别为x，y，z轴上单位点，调整长度和角度至适当位置。（如图1）

2.新建三个参数x，y，z，用以表示点的三维坐标，如x=2.00，y=3.00，z=2.00。

3.选中点O，变换/标记中心（“变换”菜单下“标记中心”命令，下同）；

选中参数x，变换/标记比值；

选中点i，变换/缩放，弹出缩放对话框，点击“缩放”按钮，得点A。

类似地，对点j，k以O为缩放中心，分别以y，z为缩放比例进行缩放，得点B，C 。

4.以线段OA、OB、OC为棱，构造长方体，确定点的位置（如图2）

依次选中点O和点B，变换/标记向量；

选中点A，C，变换/平移，得点D，F；

类似地，对点A，D沿向量OC进行“平移”得点E，P；

将上述8个点连成长方体OADB-CEPF，由立体几何知识可知，点P在空间坐标系O-xyz中的坐标为P(x，y，z）。（图2）

编辑参数x，y，z的值，发现点P的位置随之变动。这样便实现了由坐标来控制点的运动的目标。下边我们绘制曲面和空间曲线。

二、绘制曲面和空间曲线

既然前边实现了由坐标来控制点的位置的目的，而曲面和空间曲线的参数方程都是用参数表示其上点的坐标的，那么，如果把例1的参数x，y，z编辑为曲面或曲线的参数方程，则点P就是该曲面或曲线上的点，然后利用轨迹功能便可绘制曲面或空间曲线。

例2：绘制地球仪（球面）

实际上只需将参数x，y，z的值分别编辑为球面参数方程即可。

步骤：

1.构造球面参数方程的参数。作一个圆（S，T为作圆的原始点）。在圆周上任取两点，记为a，b，

选中点a，T及圆周

作图/绘制圆弧，绘制弧Ta；

度量/圆弧角，将结果标签为a。

同理，度量圆弧角Tb的大小，将结果标签为b。结果如下：

a=144.208°b=38.390°

2.编辑参数。根据球面的参数方程 将例1的

参数x，y，z分别按照上式进行编

辑，不妨设r=4。（编辑/编辑参数命令，或右键/编辑参数，依次对参数x，y，z进行编辑计算。）

3.构造轨迹。选中点a，P，作图/轨迹，得点P的轨迹是椭圆（两条相对的子午线的直观图）。

选中点b，P，作图/轨迹，得点P的轨迹也是椭圆（纬线圈的直观图）。（如图3）

4.追踪轨迹。选中上述两个轨迹，显示/追踪轨迹，再选中点a，b，显示/生成点的动画，让点a，b运动，调节a，b的速度到适当的值，可得图4，即可视为地球仪的模型。

综上所述，只要知道任意曲面或空间曲线的参数方程，都可利用此坐标系绘制它们的图形，当然也可绘制任意二元函数的图像。大家可以自己举例验证。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文