基于最小线性均方估计的小波去噪算法

摘 要:提出一种新的基于最小线性估计正交小波图像去噪算法。该算法把降噪过程直接看作是一个小波系数的加权和,而不是为小波系数假设一个统计模型。在此,基于最小线性均方估计构造去噪函数,然后最小化均方误差,得到一组估计参数,从而得到线性去噪函数,实现对非线性去噪算法的改进,其最大的好处就是不用先验知识;最后通过使用该去噪算法对一定噪声级数的标准图像进行处理,并与目前去噪效果最好的BLS-GSM方法进行了比较。结果表明了该方法的有效性。

关键词:均方误差; 小波系数; 去噪; 线性估计

中图分类号:TP391.9 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)12-0121-04

Wavelet De-noising Algorithm Based on LMS Estimation

ZHU Wen-tao, FU Wei

(College of Information Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Abstract:A new orthogonal wavelet image de-noising algorithm based on the least linear estimation is proposed. Instead of postulating a statistical model for the wavelet coefficients, the de-noising process was regarded as a sum of wavelet coefficients with unknown weights. Constructing de-noising function based on the least linear mean square estimation, then minimizing the mean square error, a group of estimation parameters can be acquired to construct the linear de-nosing function completing the improvement of no-linear de-nosing function. The most important advantage is that the priori knowledge is needless. Comparing with the result acquired by BLS-GSM over a suitable range of noise levels for a standard image, the result acquired by using this proposed approach.

Keywords:mean squares error; wavelet coefficients; de-noising; linear mean square estimation

近年来随着小波理论的不断成熟和发展,小波变换已经广泛地应用于各个领域,特别是图像去噪方面,其中小波阈值去噪法是目前研究最为广泛的方法。在小波变换域中,噪声能量分布在所有小波系数上,其值较低;信号能量只分布在一小部分小波系数上,其值较高,因此找到一个合适的阈值就可以达到明显的去噪效果。基于这个思想,很多学者提出了有效的方法[1],如:通用(universal)阈值法[2-3]、极小化风险阈值法[4-5]、BLS-GSM法[6]和BayesShrink阈值法[7-8]。近年来,一些新方法也相继提出[9-12],但是这些方法都需要为图像的小波系数构造模型[8,13],这就增加了算法的难度和计算的复杂度。基于这些理论,本文提出了一种改进的基于线性均方估计的线性阈值去噪函数。实验结果表明,该函数可以达到较好的去噪效果。

1 小波去噪的基本原理

含噪声的图像模型为:

y(m,n)=x(m,n)+b(m,n),

m=1,2,…,M;n=1,2,…,N (1)

式中:y(m,n) 是观测图像的灰度值;x(m,n)是无噪图像的灰度值;b(m,n)是观测噪声。假定噪声独立于信号,并且是空间平稳的零均值高斯白噪声,设噪声方差为σ2含噪图像的小波去噪过程可以分为3步:

(1) 对含噪图像进行J层正交小波分解,得到小波域系数cAk,cAk+1,dA(h)k+1,dA(v)k+1,dA(d)k+1。其中,k=0,2,…,J-1;cAk为k层近似小波系数;cAk+1,dA(h)k+1,dA(v)k+1,dA(d)k+1分别为k+1层近似小波系数、水平细节系数、垂直细节系数和对角细节系数;cA0=y(m.n)为观测图像。

(2) 利用合适的点态阈值函数θ(•)对含噪图像的小波域系数cAk+1,dA(h)k+1,dA(v)k+1,dA(d)k+1做滤波处理,得到处理后的小波系数Ak+1,A(h)k+1,A(v)k+1,A(d)k+1。

(3) 利用去噪后的小波系数Ak+1,A(h)k+1,A(v)k+1,A(d)k+1进行小波逆变换,得到去噪后的估计图像(m,n)。

由于使用的是可分离正交小波变换,由正交性可知,噪声的小波系数依然满足高斯特性,即满足均值为0,方差为σ2,Р⑶以谕枷裼蛑芯方误差(MSE)可以表示成小波域中每一子带的MSE的加权和。MSE定义为:

MSE=1MN∑Mi=1∑Nj=1[x(i,j)-(i,j)]2 (2)

1.1 Stein′s 无偏均方误差估计

在图像去噪应用中,一般用峰值信噪比(PSNR)评价去噪性能,PSNR值越大,说明去噪效果越好。PSNR定义为:

PSNR=10lg[ max(x2)/MSE](3)

对于量化级别为0~255的灰度图像, max(x2)=2552。

因此,由式(3)的定义可知,图像去噪的出发点就是MSE的最小化问题,本文的主要目的也是找到一个合适的函数,以解决这个问题,但这也是一个难点,因为在实际中无法得到噪声图像。幸运的是,这个难题已经被stein提出的无偏风险估计(SURE)解决了。SURE理论说明去噪过程中可以不必考虑原始图像也能达到很好的去噪效果,基于此,本文提出了基于最小线性均方估计的改进式去噪函数。

为了方便说明,令观测图像表示为:

y = x + b(4)

小波系数表示为:

w = Dy(5)

去噪后的估计图像表示为:

= R θ( w )= R θ( Dy ) (6)

式中: D =(di,j)M×M; R =(ri,j)M×MП硎就枷竦男〔ǚ纸夂椭毓勾理。

由最小线性均方估计理论可以写出去噪函数的基本形式:

ζ( y )=∑Kk=1ak R θk( w )=∑Kk=1ak R θk( Dy ) (7)

因此MSE可表示为:

MSE=1MN x -ζ( y )2 (8)

定理1:令Е:RR是一个可微的函数,且在无穷处有界,那么:

ε=1MNζ( y )- y 2+2σ2MNdiv{ζ( y )}-σ2 (9)

是MSE的无偏估计[4],即:

Ε{ε}=MSE=1MNE{ζ( y )- x 2}

证明:

E{ζ( y )- x 2}=E{ζ( y )2}-

2E{ζ( y )Τ x }+E{ x 2}=E{ζ( y )2}-

2E{ζ( y )Τ y }+2σ2E{div{ζ( y )}}+E{ x 2}

因为噪声 b 是零均值,可以用E{ y 2}-MNσ2代替E{ x 2}。

定理1能较好地应用于图像去噪别是抽样数非常大的情况。在此条件下,ε的标准方差非常小,也就是说估计值非常接近期望值。因此,可以完全将ε当做实际的MSE。

1.2 参数化阈值函数的构造

将式(7)改写为:

ζ( y )=∑Kk=1akζk( y ) (10)

该函数就是一个阈值函数的线性组合,但需要注意的是阈值函数不一定是线性的,并且Е篇k( y )必须是可微的,其中ζk( y )= R θk( Dy )。

将式(10)代入式(9),对ak求偏导置零,可以得到一组ak,Ъ:

∑Kl=1│篇k( y Τ)ζk( y ) M al=│篇k( y Τ) y -σ2div{ζk( y )} c(11)

ak可由一个下面的矩阵方程求出:

Ma = c(12)

将式(6)代入式(9)可以得到:

Е=1MNζ( y )- y 2+2σ2MN a Τθ′( Dy )-σ2 (13)

式中: a =diag{ DR }={[ DR ]11,[ DR ]22,…,[ DR ]mm}是由 DR 主对角线上的元素组成的对角阵。

一般情况下,D =(di,j)M×M,R =(ri,j)M×M都是已知,可以用适当的方法求得 a ,因此由式(9)可知,找到┮桓龊鲜实摩(•),使得均方误差最小,就能从理论上实现去噪的有效性,实际的仿真也证明了其有效性。

1.3 基于MSE的点态阈值函数的构造

基于以上的要求,去噪函数为:

ζ( y )=∑Kk=1ak y e-(k-1) y Τ y 2T2 (14)

当k=1时,去噪函数变为ζ( y )=a1 y ,这是最简单的点态去噪函数。直接对εё钚,可得:

a1=1-σ2(1/MN) y 2 (15)

可以证明T和K对图像去噪的效果只有较小的影响,因此从实际应用考虑[13-15],取K=2和T=6σ,б虼巳ピ牒数为:

ζ( y ,a)=(a1+a2e- y Τ y 12σ2) y(16)

2 层间相关性

2.1 尺度间的特征对齐

在正交小波分解中相邻尺度间小波系数的父子关系如图1所示。

其大小比例为1∶2,通常使用二因子法实现二者的特征对齐,但这种方法没有考虑滤波器的延迟问题。为了解决该延迟问题,引用了一个解决方法,该方法可以保证图像特征的对齐[4,13]。令LLj,LHj分别为j层的低通和带通输出,若低通和带通滤波器的群延迟相等,则LLj,LHj的特征无偏移,即使有些特征发生衰退、模糊或者加强,他们的位置相对不变。大部分滤波器都存在群延迟,因此对LLj用适当的滤波器进行滤波处理,以补偿与LHjУ娜貉映佟＞咛逶理如图2所示。

图1 三层小波小波系数层间父子关系图

图2 特征对齐原理图

由于使用的是可分离正交小波变换,因此可以仅考虑一维的群延迟补偿。原理图如图3所示。

图3 群延迟补偿原理图

定义:若H(z)/G(z)的群延迟等于0,那么H(z)和G(z)是群延迟补偿;也就是说,当且仅当存在一个对称滤波器R(z)=±R(z-1),使得H(z)=R(z)G(z),г蛴:

W(z2)=G(z-1)G(-z-1)(1+λz-2)R(z2) (17)

式中:Е=±1;R(z)=R(z-1)。

群延迟补偿滤波器的脉冲响应wn必须满足以下2个条件:

(1) 能量守恒:∑ n∈ Ζw2n=1;

(2) 高通特性。

在实际应用中希望选用尽可能短的滤波器,容易知道,在对称或者近似对称滤波器中,比如Daubechies symlet满足对齐条件的最短W,实际上就是简单的梯度滤波器,其W(z)=z-1 。若对称性没有集中在初始位置而是在n0处, 则W(z)=z-n0(z-1);若低通滤波器是非对称的,则可简单地取R(z2)=1。

最后对群延迟补偿滤波器输出的绝对值使用一个二维归一化高斯核函数G(x)=(1/2π)e-(x2/2)进行平滑滤波,达到增加相近幅度小波系数的齐次性效果。

2.2 去噪函数的构造和参数优化

群延迟补偿滤波器可以得到一个层间预测wp,但它并不能预测其对应的子小波系数的真实值,而只是给出了期望的幅值。因此结合预测值 wp Э傻玫饺ピ牒数:

ζ( y , wp )=f( wp )∑Kk=1akζk( y )+

[ 1-f( wp )] ∑Kk=1bkζk( y ) (18)

式中:ak,bk可由最小化MSE求得。

f( wp )=e- wp 2T2 (19)

因此总的去噪函数为:

ζ( y , wp , a , b ) =

e- w Τ p wp 12σ2(a1 + a2e- y Τ y 12σ2) y+

(1-e- w Τ p wp 12σ2)(b1 + b2e- y Τ y 12σ2) y(20)

式中: a ,b 由式(6)的最小化决定,其具体计算方法如┦(12)所示。将去噪函数式(20)代入式(9)的最小化中,并分别对 a ,b 求导取0得:

m11m12m13m14

m12m22m23m24

m13m23m33m34

m14m24m34m44 M •a1

a2

b1

b2 p =c1

c2

c3

c4 c(21)

式中:

m11 =〈f21 y Τ y 〉, m12 =〈f21f2 y Τ y 〉,

m13=〈f1f1 y Τ y 〉, m14=〈f1f1f2 y Τ y 〉,

m22 =〈f21 f22 y Τ y 〉, m23=〈f1f1f2 y Τ y 〉,

m24 =〈f1 f1 f22 y Τ y 〉, m33=〈f12 y Τ y 〉,

m34 =〈f21 f2 y Τ y 〉, m44 =〈f1 2f22 y Τ y 〉,

c1=〈f1 y Τ y -σ2f1〉,

c2=〈f1f2 y Τ y -σ2f1f2(f2+f2′ y )〉,

c3=〈f1 y Τ y -σ2f1〉,

c4=〈f1f2 y Τ y -σ2f1e- y Τ y 12σ2(f2+f2′ y )〉,

f1=e- w Τ pwp 12σ2, f1=1-f1 ,

f2=e- y Τ y 12σ2, f2=1-f2,〈 〉=1MN•2

3 实验结果与分析

对上述方法进行实验仿真验证,并与目前理论上图像去噪滤波中最理想的去噪算法BLS-GSM算法进行了比较。采用的实验图像为标准的512×512 Lena灰度图像,分别加入强度为5,10,20,30,50,100的高斯白噪声,采用sym 8小波进行四层分解。实验结果如表1所示。

表1 实验结果

噪声级数(σ)IPSNRBLS-GS PSNR本文中PSNRBLS-GSMt /s本文中t /s

534.1538.1937.9645.952.58

1028.1335.2334.5644.912.50

2022.1132.2531.5145.672.52

3018.5930.4629.5645.392.50

5014.1528.2127.3745.592.53

1008.1325.3424.6645.452.89

一般将峰值信噪比作为判定图像去噪好坏的标准,从表1可以看出,本文提出的方法能达到较高的峰值信噪比,并且与BLS-GSM[6]方法的峰值信噪比相差不多,平均相差0.64 dB。 在视觉上有较好的效果,如图4所示。但是该方法的运行时间比BLS-GSM有明显的优越性,平均运行时间是BLS-GSM的15倍多。

图4 仿真结果

4 结 语

提出一种新的参数化阈值去噪函数,其中参数可由MSE无偏估计的最小化决定。为了考虑小波系数层间相关性引用了一个特征对齐过程,并且对父子系数进行了预测。然后将这些指标与去噪函数结合,并与目前最好的BLS-GSM方法进行了比较。结果证明了该方法的有效性和优越性。

参考文献

[1]谢杰成,张大力,许文立.小波图像去噪综述[J].中国图像图形学报,2002,7(3):209-217.

[2]DONOHO D L, JOHNSTONE I M. Adapting to unknown Smoothness Via wavelet Shrinkage[J]. Journal of the American Statistical Association,1995,90(42):1200-1224.

[3]WANG Ling. Orthogonal multiwavelets transform for image denoising [J].IEEE Proceedings of ICSP,2000,2:987-991.

[4]CHANG S G, YU Bin,VETTERLI M.Adaptive wavelet thre-sholding for image denoising and compression[J].IEEE Trans.on Image Processing,2000,9(9):1532-1546.

[5]Benyahia A Benazza, PESQUET J C.Building robust wavelet estimators for multicomponent images using Stein′s principle[ J] . IEEE Trans. on Image Processing, 2005,14(11):1814-1830.

[6]PORTILLA J, STRELA V,WAINWRIGHT M J, et al. Image denoising using scale mixtures of Gaussians in the wavelet domain[ J] . IEEE Trans. on Image Processing, 2003, 12( 11): 1338-1351.

[7]PIˇZURICA A, PHILIPS W. Estimating the probability of the presence of a signal of interest in multiresolution single- and multiband image denoising[J].IEEE Trans. on Image Processing, 2006, 15(3): 654-665.

[8]SENDUR L,SELESNICK I W. Bivariate shrinkage functions for wavelet-based denoising exploiting interscale dependency[J].IEEE Trans. on Signal Processing, 2002,50(11): 2744-2756.

[9]袁修贵,王琛.一种基于小波分析的各向异性图像去噪方法[J].数学理论与应用,2007,27(1):121-124.

[10]田沛,李庆周,马平.一种基于小波变换的图像去噪新方法[J].中国图像图形学报,2008,13(3):394-399.

[11]陈颖,彭进业.基于PDE的图像去噪和反差增强同步算法[J].计算机工程,2009,35(23):224-226.

[12]ZHANG Lei, WU Xiao-lin, ZHANG David. PCA-based spatially adaptive denoising of CFA images for single-sensor digital cameras[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2009,18(4):797-812.

[13]LUISIER Florian,BLU Thierry. SURE-LET multichannel image denoising: interscale orthonormal wavelet thre-sholding[ J] . IEEE Transactions on Image Processing, 2008,17(4):482-492.

[14]LUISIER F, BLU T, UNSER M. A new SURE approach to image denoising: interscale orthonormal wavelet thre-sholding[ J] . IEEE Trans. on Image Processing, 2007,16(3):593-606.

[15]BLU T, LUISIER F. The SURE-LET approach to image denoising[J].IEEE Trans. on Image Processing, 2007, 16(11): 2778-2786.

[16]费双波,赵瑞珍.SURE准则的图像小波阈值去噪[J].北京交通大学学报,2007,31(2):15-18.